গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   প্রমাণ: চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $EA$, $ED$ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $E$ থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক, যা বৃত্তকে যথাক্রমে $A$ ও $D$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। $O, A$; $O, D$ এবং $O, E$ যোগ করি।

   স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব। তাই $\angle OAE = \angle ODE = 90°$।

   $\triangle OAE$ ও $\triangle ODE$ সমকোণী ত্রিভুজে,

   তাতে $OA = OD$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

   অতিভুজ $OE$ সাধারণ।

   সুতরাং $\triangle OAE \cong \triangle ODE$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   অতএব, $AE = DE$ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   প্রমাণ: $ABCD$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। $O, B$ এবং $O, D$ যোগ করি।

   $BCD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOD$ (প্রকৃত কোণ) এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAD$। অতএব, $\angle BOD = 2\angle BAD$ ... (i)

   $BAD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ হলো প্রবৃদ্ধ $\angle BOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BCD$। অতএব, প্রবৃদ্ধ $\angle BOD = 2\angle BCD$ ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $2\angle BAD + 2\angle BCD =$ $\angle BOD$ + প্রবৃদ্ধ $\angle BOD = 360°$

   বা, $\angle BAD + \angle BCD = 180°$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   প্রমাণ: $OA$, $OD$ যোগ করি এবং ধরি $OE$ জ্যা $AD$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

   (ক) অংশ থেকে $\triangle OAE \cong \triangle ODE$। অতএব, $\angle AEO = \angle DEO$, অর্থাৎ $\angle AEF = \angle DEF$।

   এখন $\triangle AEF$ ও $\triangle DEF$ এ,

   $AE = DE$ ((ক) অনুযায়ী)

   $\angle AEF = \angle DEF$

   $EF$ সাধারণ বাহু।

   সুতরাং $\triangle AEF \cong \triangle DEF$ (বাহু-কোণ-বাহু)

   অতএব, $AF = DF$ এবং $\angle AFE = \angle DFE$।

   $AD$ সরলরেখার ওপর $EF$ দণ্ডায়মান, তাই $\angle AFE + \angle DFE = 180°$। সুতরাং $2\angle AFE = 180°$, অর্থাৎ $\angle AFE = 90°$।

   অতএব, $OE$ রেখা $AD$ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং এর ওপর লম্ব। অর্থাৎ $OE$ হলো জ্যা $AD$ এর লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক (প্রমাণিত)।