গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ৭ সেমি রেখাংশকে ৩ : ২ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করতে হবে।
   অঙ্কন:
   ১. $AB = 7$ সেমি আঁকি।
   ২. $A$ বিন্দুতে $AB$ এর সাথে সূক্ষ্মকোণ করে রশ্মি $AX$ আঁকি।
   ৩. $AX$ থেকে সমান দৈর্ঘ্যের ($3+2=5$টি) অংশ কাটি: $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5$।
   ৪. $P_5B$ যোগ করি এবং $P_3$ দিয়ে $P_5B$ এর সমান্তরাল রেখা টানি; এটি $AB$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   তাহলে $AC : CB = 3 : 2$, অর্থাৎ $AC = 4.2$ সেমি ও $CB = 2.8$ সেমি।

2. খ)

   ত্রিভুজের পরিসীমা $s = 9$ সেমি এবং ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle x = 75^\circ$, $\angle y = 70^\circ$।
   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $PQ = 9$ সেমি রেখাংশ আঁকি।
   ২. $P$ বিন্দুতে $\angle QPR' = 75^\circ$ এবং $Q$ বিন্দুতে $\angle PQR'' = 70^\circ$ আঁকি (একই পাশে)।
   ৩. কোণ দুটির সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; তারা $R$ বিন্দুতে মিলিত হয়।
   ৪. $PR$ ও $QR$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $PQ$ কে যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $AR$ ও $BR$ যোগ করি।
   $\triangle ABR$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
   প্রমাণ: $AP = AR$ ও $BQ = BR$, তাই $AR + AB + BR = PQ = 9$ সেমি। আবার $\angle RAB = 2\times\dfrac{75^\circ}{2} = 75^\circ$ ও $\angle RBA = 70^\circ$।

3. গ)

   শীর্ষ থেকে ভূমির উপর লম্বের দৈর্ঘ্য $h = \dfrac{2s}{3} = \dfrac{2\times 9}{3} = 6$ সেমি।
   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. যেকোনো রেখা $XY$ আঁকি এবং এর উপর $D$ বিন্দু নিই।
   ২. $D$ বিন্দুতে $XY$ এর উপর লম্ব আঁকি এবং তাতে $DE = 6$ সেমি কাটি।
   ৩. $E$ বিন্দুতে $DE$ এর উপর লম্ব $PQ$ আঁকি, ফলে $PQ \parallel XY$।
   ৪. $E$ বিন্দুতে $EP$ এর সাথে $\angle PEA = 75^\circ$ এবং $EQ$ এর সাথে $\angle QEB = 70^\circ$ আঁকি, যাতে $EA$ ও $EB$ রেখা $XY$ কে যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $\triangle EAB$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
   প্রমাণ: $PQ \parallel AB$, তাই একান্তর কোণ $\angle EAB = \angle PEA = 75^\circ$ ও $\angle EBA = \angle QEB = 70^\circ$। শীর্ষ $E$ থেকে ভূমির লম্ব দূরত্ব $DE = 6$ সেমি।