গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $4^{2p-1}=128$

   বা, $(2^2)^{2p-1}=2^7$

   বা, $2^{4p-2}=2^7$

   বা, $4p-2=7$

   বা, $4p=9$, তাই $p=\dfrac94$।

2. খ)

   সমান্তর ধারার $n$ তম পদ $25-4n$, তাই প্রথম পদ $a=25-4=21$, দ্বিতীয় পদ $=17$, সাধারণ অন্তর $d=-4$।

   $S_n=\dfrac n2\{2\cdot21+(n-1)(-4)\}=\dfrac n2(46-4n)=n(23-2n)$

   শর্তমতে, $n(23-2n)=-187$

   বা, $2n^2-23n-187=0$

   বা, $(n-17)(2n+11)=0$

   $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $n=\mathbf{17}$।

   (যাচাই: $17\times(23-34)=-187$ ✓)

3. গ)

   গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ $2\left(\dfrac12\right)^n$। প্রথম পদ $a=2\cdot\dfrac12=1$, দ্বিতীয় পদ $=\dfrac12$, তাই সাধারণ অনুপাত $r=\dfrac12$।

   $r<1$, তাই $S_7=\dfrac{a(1-r^7)}{1-r}=\dfrac{1\cdot\left(1-\frac1{128}\right)}{1-\frac12}=2\times\dfrac{127}{128}=\dfrac{127}{64}$।

   সুতরাং, প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি $\mathbf{\dfrac{127}{64}}$।