উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(z)=cos⁡2z,g(u)=u4−23u3−2u2+2u f(z)=\cos 2 z, g(u)=u^{4}-\frac{2}{3} u^{3}-2 u^{2}+2 u

  1. ক)

    x2−2y2=10 x^{2}-2 y^{2}=10 বক্ররেখার (−4,3) (-4,3) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    (−1,2) (-1,2) ব্যবধিতে. g(x) g(x) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ:
    x2−2y2=10x^2 - 2y^2 = 10

    উভয়পক্ষে xx এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
    2x−4ydydx=02x - 4y \frac{dy}{dx} = 0
      ⟹  4ydydx=2x\implies 4y \frac{dy}{dx} = 2x
      ⟹  dydx=2x4y=x2y\implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4y} = \frac{x}{2y}

    অতএব, (−4,3)(-4, 3) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল:
    m=[dydx](−4,3)=−42(3)=−46=−23m = \left[\frac{dy}{dx}\right]_{(-4,3)} = \frac{-4}{2(3)} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    এখানে, f(z)=cos⁡2zf(z) = \cos 2z
    ∴f(x)=cos⁡2x\therefore f(x) = \cos 2x এবং f(x+h)=cos⁡2(x+h)f(x+h) = \cos 2(x+h)

    প্রদত্ত রাশি:
    lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
    =lim⁡h→0cos⁡2(x+h)−cos⁡2xh= \lim_{h \to 0} \frac{\cos 2(x+h) - \cos 2x}{h}
    =lim⁡h→0−2sin⁡(2x+2h+2x2)sin⁡(2x+2h−2x2)h= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{2x+2h+2x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x+2h-2x}{2}\right)}{h}
    =lim⁡h→0−2sin⁡(2x+h)sin⁡(h)h= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin(2x+h) \sin(h)}{h}
    =−2lim⁡h→0sin⁡(2x+h)×lim⁡h→0sin⁡hh= -2 \lim_{h \to 0} \sin(2x+h) \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}
    =−2sin⁡(2x+0)×1= -2 \sin(2x+0) \times 1
    =−2sin⁡2x= -2 \sin 2x (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(u)=u4−23u3−2u2+2ug(u) = u^4 - \frac{2}{3}u^3 - 2u^2 + 2u
    ∴g(x)=x4−23x3−2x2+2x\therefore g(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 2x

    xx এর সাপেক্ষে পর পর দুইবার অন্তরীকরণ করে পাই,
    g′(x)=4x3−2x2−4x+2=2(2x3−x2−2x+1)=2[x2(2x−1)−1(2x−1)]=2(2x−1)(x2−1)=2(2x−1)(x−1)(x+1)g'(x) = 4x^3 - 2x^2 - 4x + 2 = 2(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 2[x^2(2x - 1) - 1(2x - 1)] = 2(2x - 1)(x^2 - 1) = 2(2x - 1)(x - 1)(x + 1)
    এবং g′′(x)=12x2−4x−4g''(x) = 12x^2 - 4x - 4

    চরম মানের জন্য, g′(x)=0g'(x) = 0
      ⟹  2(2x−1)(x−1)(x+1)=0\implies 2(2x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0
      ⟹  x=12,1,−1\implies x = \frac{1}{2}, 1, -1
    কিন্তু (−1,2)(-1, 2) খোলা ব্যবধিতে x=−1x = -1 গ্রহণযোগ্য নয়।
    সুতরাং আলোচ্য ব্যবধিতে সম্ভাব্য বিন্দুদ্বয় x=12x = \frac{1}{2} এবং x=1x = 1।

    ১. x=12x = \frac{1}{2} হলে,
    g′′(12)=12(14)−4(12)−4=3−2−4=−3<0g''\left(\frac{1}{2}\right) = 12\left(\frac{1}{4}\right) - 4\left(\frac{1}{2}\right) - 4 = 3 - 2 - 4 = -3 < 0
    সুতরাং, x=12x = \frac{1}{2} বিন্দুতে g(x)g(x) এর সর্বোচ্চ (গুরুমান) বিদ্যমান।
    সর্বোচ্চ মান, g(12)=(12)4−23(12)3−2(12)2+2(12)=116−112−12+1=3−4−24+4848=2348g\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3 - 4 - 24 + 48}{48} = \frac{23}{48}

    ২. x=1x = 1 হলে,
    g′′(1)=12(1)2−4(1)−4=12−8=4>0g''(1) = 12(1)^2 - 4(1) - 4 = 12 - 8 = 4 > 0
    সুতরাং, x=1x = 1 বিন্দুতে g(x)g(x) এর সর্বনিম্ন (লঘুমান) বিদ্যমান।
    সর্বনিম্ন মান, g(1)=14−23(1)3−2(1)2+2(1)=1−23−2+2=13g(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 2(1) = 1 - \frac{2}{3} - 2 + 2 = \frac{1}{3}

    অতএব, (−1,2)(-1, 2) ব্যবধিতে g(x)g(x) এর সর্বোচ্চ মান 2348\frac{23}{48} এবং সর্বনিম্ন মান 13\frac{1}{3}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন