x=sec⁡θ,yy=sin⁡θ x=sec theta, y y=sin theta এবং a=cos⁡θ… | প্রশ্ন | উৎসাহ

গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪

x=sec⁡θ,yy=sin⁡θ x=\sec \theta, \mathrm{y} y=\sin \theta এবং a=cos⁡θ a=\cos \theta

ক)
cot⁡(A+15∘)=1 \cot \left(\mathrm{A}+15^{\circ}\right)=1 হলে, A এর মান নির্ণয় কর।
(1)
খ)
উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে ; x+1x−1=ay+1y \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{a}{y}+\frac{1}{y}
(2)
গ)
উদ্দীপকের আলোকে 1x2−y2+5a=2 \frac{1}{\mathrm{x}^{2}}-\mathrm{y}^{2}+5 \mathrm{a}=2 হলে θ \theta এর মান নির্ণয় কর। বেখানে 0∘<θ<90∘ 0^{\circ}<\theta<90^{\circ}
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
$\cot(A+15^\circ)=1=\cot45^\circ$

$\Rightarrow A+15^\circ=45^\circ\Rightarrow A=30^\circ$

নির্ণেয় মান $A=30^\circ$ ।
খ)
দেওয়া আছে $x=\sec\theta$ , $y=\sin\theta$ , $a=\cos\theta$ ।

বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\sqrt{\frac{\sec\theta+1}{\sec\theta-1}}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}$

$=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}}=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

$=\frac{1+a}{y}=\frac ay+\frac1y=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\frac ay+\frac1y$ (প্রমাণিত)।
গ)
$\frac1{x^2}-y^2+5a=2$ এ মান বসিয়ে পাই,
$\cos^2\theta-\sin^2\theta+5\cos\theta=2$
$\Rightarrow\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)+5\cos\theta-2=0$
$\Rightarrow2\cos^2\theta+5\cos\theta-3=0$
$\Rightarrow(2\cos\theta-1)(\cos\theta+3)=0$

$\cos\theta+3\ne0$ (কারণ $\cos\theta\ge-1$ )। তাই $2\cos\theta-1=0$

$\Rightarrow\cos\theta=\frac12=\cos60^\circ$

নির্ণেয় মান $\theta=60^\circ$ ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন