গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের কেন্দ্র $C$ এবং ব্যাসার্ধ $CQ=6$ সে.মি. হওয়ায় ক্ষেত্রফল $=\pi r^2=\pi\times6^2=36\pi\approx\mathbf{১১৩.১}$ বর্গ সে.মি.।

2. খ)

   প্রমাণ: $C$ বৃত্তের কেন্দ্র; $Q, R, S$ বৃত্তের উপর অবস্থিত। প্রমাণ করতে হবে $\angle QRS=\frac{1}{2}$ প্রবৃদ্ধ $\angle QCS$।

   $RC$ কে বর্ধিত করলে বৃত্তকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $CQ=CR$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle CRQ=\angle CQR$।

   $\triangle CQR$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle QCT=\angle CRQ+\angle CQR=2\angle CRQ$।

   একইভাবে $\triangle CRS$ এ $CR=CS$, তাই $\angle SCT=2\angle CRS$।

   যোগ করলে, প্রবৃদ্ধ $\angle QCS=\angle QCT+\angle SCT=2(\angle CRQ+\angle CRS)=2\angle QRS$।

   অতএব $\angle QRS=\frac{1}{2}$ প্রবৃদ্ধ $\angle QCS$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   প্রমাণ: $C$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $PQ>RS$। প্রমাণ করতে হবে $PQ$ জ্যা কেন্দ্র থেকে $RS$ জ্যা অপেক্ষা নিকটতর।

   অঙ্কন: কেন্দ্র $C$ থেকে $PQ$ ও $RS$ এর উপর যথাক্রমে $CM\perp PQ$ এবং $CN\perp RS$ আঁকি এবং $CQ$, $CS$ যোগ করি।

   কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $QM=\frac{1}{2}PQ$ এবং $SN=\frac{1}{2}RS$।

   $PQ>RS$ হওয়ায় $QM>SN$, অর্থাৎ $QM^2>SN^2$ ...(১)

   সমকোণী $\triangle CMQ$ এ $CM^2=CQ^2-QM^2$ এবং সমকোণী $\triangle CNS$ এ $CN^2=CS^2-SN^2$।

   কিন্তু $CQ=CS=6$ সে.মি. (ব্যাসার্ধ)। তাই (১) থেকে $CQ^2-QM^2<CS^2-SN^2$, অর্থাৎ $CM^2<CN^2$।

   অতএব $CM<CN$। সুতরাং $PQ$ জ্যা, $RS$ জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর (প্রমাণিত)।