গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

P=sec⁡A+tan⁡A,Q=sec⁡A−tan⁡A \mathrm{P}=\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A}, \mathrm{Q}=\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A} এবং C=cosec⁡A+1cosec⁡ A−1 \mathrm{C}=\frac{\operatorname{cosec} \mathrm{A}+1}{\operatorname{cosec} \mathrm{~A}-1}

  1. ক)

    sec⁡θ=3 \sec \theta=3 হলে, tan⁡θ \tan \theta এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, P2=C \mathrm{P}^{2}=\mathrm{C}

    (2)
  3. গ)

    PQ=2+32−3 \frac{P}{Q}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} এবং A A সূক্ষ্মকোন হলে A A এর মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    tan⁡2θ=sec⁡2θ−1=9−1=8\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=9-1=8

    tan⁡θ=8=22\tan\theta=\sqrt{8}=\mathbf{2\sqrt{2}} (সূক্ষ্মকোণে ধনাত্মক)।

  2. খ)

    P2=(sec⁡A+tan⁡A)2=(1cos⁡A+sin⁡Acos⁡A)2=(1+sin⁡A)2cos⁡2A=(1+sin⁡A)21−sin⁡2A=(1+sin⁡A)2(1+sin⁡A)(1−sin⁡A)=1+sin⁡A1−sin⁡AP^2=(\sec A+\tan A)^2=\left(\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2=\frac{(1+\sin A)^2}{\cos^2A}=\frac{(1+\sin A)^2}{1-\sin^2A}=\frac{(1+\sin A)^2}{(1+\sin A)(1-\sin A)}=\frac{1+\sin A}{1-\sin A}

    C=cosec⁡A+1cosec⁡A−1=1sin⁡A+11sin⁡A−1=1+sin⁡A1−sin⁡AC=\frac{\operatorname{cosec}A+1}{\operatorname{cosec}A-1}=\frac{\frac{1}{\sin A}+1}{\frac{1}{\sin A}-1}=\frac{1+\sin A}{1-\sin A}

    অতএব P2=CP^2=C (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    PQ=sec⁡2A−tan⁡2A=1PQ=\sec^2A-\tan^2A=1, অর্থাৎ Q=1PQ=\frac{1}{P}। তাই PQ=P2=1+sin⁡A1−sin⁡A\frac{P}{Q}=P^2=\frac{1+\sin A}{1-\sin A} ((খ) থেকে)।

    শর্ত: 1+sin⁡A1−sin⁡A=2+32−3\frac{1+\sin A}{1-\sin A}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

    যোজন-বিয়োজন করে, 22sin⁡A=423⇒1sin⁡A=23⇒sin⁡A=32=sin⁡60∘\frac{2}{2\sin A}=\frac{4}{2\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{1}{\sin A}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin60^\circ

    AA সূক্ষ্মকোণ, অতএব A=60∘A=\mathbf{60^\circ}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন