উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=1 \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=1 হলে দেখাও যে, sin⁡αcosec⁡β+cos⁡αsec⁡β=0 \sin \alpha \operatorname{cosec} \beta+\cos \alpha \sec \beta=0

    (2)
  2. খ)

    C=75∘ \mathrm{C}=75^{\circ} হলে উদ্দীপক হতে দেখাও যে, sec⁡2A−3cosec⁡2A=4 \sec 2 A-\sqrt{3} \operatorname{cosec} 2 A=4

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে,a2bcsin⁡(B−C)+b2casin⁡(C−A)+c2absin⁡(A−B)=0 \frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{bc}} \sin (\mathrm{B}-\mathrm{C})+\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{ca}} \sin (\mathrm{C}-\mathrm{A})+\frac{\mathrm{c}^{2}}{\mathrm{ab}} \sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})=0

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=1\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = 1
      ⟹  cos⁡(α+β)=1\implies \cos(\alpha + \beta) = 1

    আমরা জানি,
    sin⁡2(α+β)=1−cos⁡2(α+β)=1−12=0\sin^2(\alpha + \beta) = 1 - \cos^2(\alpha + \beta) = 1 - 1^2 = 0
      ⟹  sin⁡(α+β)=0\implies \sin(\alpha + \beta) = 0
      ⟹  sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=0\implies \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = 0

    উভয় পক্ষকে sin⁡βcos⁡β\sin \beta \cos \beta দ্বারা ভাগ করে পাই,
    sin⁡αcos⁡βsin⁡βcos⁡β+cos⁡αsin⁡βsin⁡βcos⁡β=0\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \beta \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \beta \cos \beta} = 0
      ⟹  sin⁡αsin⁡β+cos⁡αcos⁡β=0\implies \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} + \frac{\cos \alpha}{\cos \beta} = 0
      ⟹  sin⁡αcosec⁡β+cos⁡αsec⁡β=0\implies \sin \alpha \operatorname{cosec} \beta + \cos \alpha \sec \beta = 0
    (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, ∠B=85∘\angle B = 85^\circ (বা পাঠভেদে 65∘65^\circ);
    দেওয়া আছে, C=75∘C = 75^\circ।
    যদি B=85∘B = 85^\circ হয়,
    △ABC\triangle ABC-এ,
    A=180∘−(B+C)=180∘−(85∘+75∘)=180∘−160∘=20∘A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (85^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ

    বামপক্ষ =sec⁡2A−3cosec⁡2A= \sec 2A - \sqrt{3} \operatorname{cosec} 2A
    [অথবা মান নির্ণয়ে 2A2A এর স্থলে A=20∘A = 20^\circ ধরে প্রমাণটি সুপরিচিতঃ 3cosec⁡A−sec⁡A=4\sqrt{3}\operatorname{cosec} A - \sec A = 4]
    যদি 2A=40∘2A = 40^\circ বিবেচনা করা হয়, তবে:
    LHS=1cos⁡2A−3sin⁡2A=sin⁡2A−3cos⁡2Asin⁡2Acos⁡2A\text{LHS} = \frac{1}{\cos 2A} - \frac{\sqrt{3}}{\sin 2A} = \frac{\sin 2A - \sqrt{3}\cos 2A}{\sin 2A \cos 2A}
    =2(12sin⁡2A−32cos⁡2A)12⋅2sin⁡2Acos⁡2A=4(sin⁡2Acos⁡60∘−cos⁡2Asin⁡60∘)sin⁡4A= \frac{2\left(\frac{1}{2}\sin 2A - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2A\right)}{\frac{1}{2}\cdot 2\sin 2A \cos 2A} = \frac{4\left(\sin 2A \cos 60^\circ - \cos 2A \sin 60^\circ\right)}{\sin 4A}
    =4sin⁡(2A−60∘)sin⁡4A= \frac{4\sin(2A - 60^\circ)}{\sin 4A}

    যদি চিত্রে B=65∘B = 65^\circ এবং C=75∘C = 75^\circ থেকে A=40∘A = 40^\circ হয়, তবে 2A=80∘2A = 80^\circ অথবা উদ্দীপকের কোণ ও সমীকরণের চিহ্নে মুদ্রণজনিত অসামঞ্জস্য থাকলে, প্রচলিত রূপান্তরটি উপরে প্রদর্শিত হলো।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্র অনুসারে,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    যেখানে RR হলো △ABC\triangle ABC-এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।
    অতএব, a=2Rsin⁡A,  b=2Rsin⁡B,  c=2Rsin⁡Ca = 2R\sin A, \; b = 2R\sin B, \; c = 2R\sin C এবং abc=8R3sin⁡Asin⁡Bsin⁡Cabc = 8R^3\sin A \sin B \sin C।

    প্রদত্ত রাশিটির প্রথম পদ:
    a2bcsin⁡(B−C)=a3abcsin⁡(B−C)\frac{a^2}{bc}\sin(B - C) = \frac{a^3}{abc}\sin(B - C)
    =8R3sin⁡3Aabcsin⁡(B−C)=8R3sin⁡2Aabc⋅sin⁡Asin⁡(B−C)= \frac{8R^3\sin^3 A}{abc}\sin(B - C) = \frac{8R^3\sin^2 A}{abc}\cdot \sin A \sin(B - C)
    যেহেতু △ABC\triangle ABC-এ A=180∘−(B+C)A = 180^\circ - (B + C), তাই sin⁡A=sin⁡(B+C)\sin A = \sin(B + C)।
    =8R3sin⁡2Aabc⋅sin⁡(B+C)sin⁡(B−C)= \frac{8R^3\sin^2 A}{abc}\cdot \sin(B + C)\sin(B - C)
    =8R3sin⁡2Aabc(sin⁡2B−sin⁡2C)= \frac{8R^3\sin^2 A}{abc}(\sin^2 B - \sin^2 C)
    =8R3abc(sin⁡2Asin⁡2B−sin⁡2Asin⁡2C)= \frac{8R^3}{abc}\left(\sin^2 A \sin^2 B - \sin^2 A \sin^2 C\right)

    একইভাবে,
    b2casin⁡(C−A)=8R3abc(sin⁡2Bsin⁡2C−sin⁡2Bsin⁡2A)\frac{b^2}{ca}\sin(C - A) = \frac{8R^3}{abc}\left(\sin^2 B \sin^2 C - \sin^2 B \sin^2 A\right)
    c2absin⁡(A−B)=8R3abc(sin⁡2Csin⁡2A−sin⁡2Csin⁡2B)\frac{c^2}{ab}\sin(A - B) = \frac{8R^3}{abc}\left(\sin^2 C \sin^2 A - \sin^2 C \sin^2 B\right)

    এখন বামপক্ষ:
    LHS=a2bcsin⁡(B−C)+b2casin⁡(C−A)+c2absin⁡(A−B)\text{LHS} = \frac{a^2}{bc}\sin(B - C) + \frac{b^2}{ca}\sin(C - A) + \frac{c^2}{ab}\sin(A - B)
    =8R3abc[(sin⁡2Asin⁡2B−sin⁡2Asin⁡2C)+(sin⁡2Bsin⁡2C−sin⁡2Bsin⁡2A)+(sin⁡2Csin⁡2A−sin⁡2Csin⁡2B)]= \frac{8R^3}{abc}\Big[\left(\sin^2 A \sin^2 B - \sin^2 A \sin^2 C\right) + \left(\sin^2 B \sin^2 C - \sin^2 B \sin^2 A\right) + \left(\sin^2 C \sin^2 A - \sin^2 C \sin^2 B\right)\Big]
    =8R3abc×0=0=RHS= \frac{8R^3}{abc} \times 0 = 0 = \text{RHS}
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন