গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2} \times 7 \times 12 \times \sin 30^\circ$
   $= \dfrac{1}{2} \times 7 \times 12 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{21}$ বর্গ সে.মি.

2. খ)

   গাছ $AB$ (পাদবিন্দু $B$) $O$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $OD$ হয়ে ভূমি স্পর্শ করে। সমকোণী $\triangle OBD$ এ $\angle B = 90^\circ$, $\angle ODB = \theta$।

   $\sin\theta = \dfrac{BO}{DO}$, তাই $\dfrac{DO}{BO} = \dfrac{1}{\sin\theta}$
   $\tan\theta = \dfrac{BO}{BD}$, তাই $\dfrac{BD}{BO} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$

   বামপক্ষ $= \left(\dfrac{1}{\sin\theta} - \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 = \dfrac{(1 - \cos\theta)^2}{\sin^2\theta} = \dfrac{(1 - \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}$
   $= \dfrac{(1 - \cos\theta)^2}{(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)} = \dfrac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}$ = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

3. গ)

   সমকোণী $\triangle OBD$ এ $BD = 10\sqrt{3}$ মিটার, $\theta = 30^\circ$।

   $\tan 30^\circ = \dfrac{BO}{BD}$ বা $BO = 10\sqrt{3} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 10$ মিটার

   $\cos 30^\circ = \dfrac{BD}{DO}$ বা $DO = \dfrac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20$ মিটার

   ভাঙা অংশ $OA = OD = 20$ মিটার।
   সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $AB = BO + OA = 10 + 20 = \mathbf{30}$ মিটার।