গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটি $7 + 10 + 13 + 16 + \cdots$। এখানে $a = 7$, $d = 3$।

   ধরি, $n$ তম পদ $= 160$।

   $7 + (n-1) \times 3 = 160 \Rightarrow 3(n-1) = 153 \Rightarrow n - 1 = 51 \Rightarrow n = 52$

   সুতরাং, ধারাটির ৫২তম পদ ১৬০।

2. খ)

   ধারাটি $3 + 6 + 12 + \cdots$ গুণোত্তর ধারা। এখানে $a = 3$, $r = \frac{6}{3} = 2$ ($r > 1$)।

   $S_t = \frac{a(r^t - 1)}{r - 1} = \frac{3(2^t - 1)}{2 - 1} = 3(2^t - 1)$

   $3(2^t - 1) = 1533 \Rightarrow 2^t - 1 = 511 \Rightarrow 2^t = 512 = 2^9$

   সুতরাং, $t = 9$।

3. গ)

   ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   $p$ তম পদ: $a + (p-1)d = q^2$ ... (i)
   $q$ তম পদ: $a + (q-1)d = p^2$ ... (ii)

   (i) − (ii) করে পাই,
   $(p - q)d = q^2 - p^2 = -(p-q)(p+q)$

   $\therefore d = -(p + q)$ ($p \neq q$)।

   এখন, $(p + q - 1)$ তম পদ $= a + (p + q - 2)d = \{a + (p-1)d\} + (q-1)d$

   $= q^2 - (q-1)(p+q) = q^2 - (pq + q^2 - p - q) = p + q - pq$

   সুতরাং, $(p - 1 + q)$ তম পদ $p + q - pq$।