গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ব্যাসার্ধ $r = 4$ সে.মি.। পরিধি $= 2\pi r = 2\times 3.1416\times 4 = 25.1328$ সে.মি.। ব্যাস $= 2r = 8$ সে.মি.।

   পার্থক্য $= 25.1328 - 8 = 17.1328 \approx \mathbf{17.13}$ সে.মি.। (সূত্রে, $8\pi - 8 = 8(\pi - 1)$)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle XYZ$ এ $XD = \frac{1}{2}XY$ এবং $XE = \frac{1}{2}XZ$, অর্থাৎ $D$, $E$ যথাক্রমে $XY$, $XZ$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, $DE \parallel YZ$ এবং $DE = \frac{1}{2}YZ$।

   অঙ্কন: $DE$ কে $F$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $EF = DE$ হয়। $F, Z$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle XDE$ ও $\triangle ZFE$ এ,
   $XE = EZ$ ($E$ মধ্যবিন্দু)
   $DE = EF$ (অঙ্কন)
   $\angle XED = \angle ZEF$ (বিপ্রতীপ কোণ)
   $\therefore \triangle XDE \cong \triangle ZFE$ (বাহু-কোণ-বাহু)

   $\therefore XD = ZF$ এবং $\angle DXE = \angle EZF$। এরা একান্তর কোণ, তাই $XY \parallel ZF$, অর্থাৎ $DY \parallel ZF$।

   আবার $XD = DY$ ($D$ মধ্যবিন্দু), তাই $DY = ZF$।

   $DY$ ও $ZF$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $DYZF$ একটি সামান্তরিক। $\therefore DF \parallel YZ$ এবং $DF = YZ$।

   $DE \parallel YZ$ এবং $DE = \frac{1}{2}DF = \frac{1}{2}YZ$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত $PQRS$ চতুর্ভুজের কর্ণ $PR$ ও $QS$ পরস্পরকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$।

   অঙ্কন: $PS$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $PQ$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POQ$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle PSQ$। তাই $\angle POQ = 2\angle PSQ$ ... (i)

   $RS$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle ROS$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle RPS$। তাই $\angle ROS = 2\angle RPS$ ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle POQ + \angle ROS = 2(\angle PSQ + \angle RPS)$ ... (iii)

   $\triangle PES$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle PEQ = \angle EPS + \angle ESP = \angle RPS + \angle PSQ$ ... (iv)

   (iii) ও (iv) থেকে, $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$ (প্রমাণিত)