গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $x^২ - \dfrac{১০}{৩}xy + y^২ = x^২ - ৩xy - \dfrac{১}{৩}xy + y^২$

   $= x(x - ৩y) - \dfrac{y}{৩}(x - ৩y)$

   $= (x - ৩y)\left(x - \dfrac{y}{৩}\right)$

2. খ)

   $y^২ = ১২ + ২\sqrt{৩৫} = ৭ + ৫ + ২\sqrt{৭ \times ৫} = (\sqrt{৭} + \sqrt{৫})^২$

   $y > ০$ বলে $y = \sqrt{৭} + \sqrt{৫}$।

   $\dfrac{১}{y} = \dfrac{১}{\sqrt{৭}+\sqrt{৫}} = \dfrac{\sqrt{৭}-\sqrt{৫}}{৭-৫} = \dfrac{\sqrt{৭}-\sqrt{৫}}{২}$

   তাই $\dfrac{৮}{y^৩} = ৮ \cdot \dfrac{(\sqrt{৭}-\sqrt{৫})^৩}{৮} = (\sqrt{৭}-\sqrt{৫})^৩$

   $y^৩ - \dfrac{৮}{y^৩} = (\sqrt{৭}+\sqrt{৫})^৩ - (\sqrt{৭}-\sqrt{৫})^৩$

   $= ২\{৩(\sqrt{৭})^২\sqrt{৫} + (\sqrt{৫})^৩\}$

   $= ২(২১\sqrt{৫} + ৫\sqrt{৫}) = ২ \times ২৬\sqrt{৫} = \mathbf{৫২\sqrt{৫}}$

3. গ)

   $২p^২ - p - ২ = ০$। উভয় পক্ষকে $p$ ($\ne ০$) দিয়ে ভাগ করে, $২p - ১ - \dfrac{২}{p} = ০$

   $\Rightarrow p - \dfrac{১}{p} = \dfrac{১}{২}$

   $\left(p + \dfrac{১}{p}\right)^২ = \left(p - \dfrac{১}{p}\right)^২ + ৪ = \dfrac{১}{৪} + ৪ = \dfrac{১৭}{৪}$

   $p > ০$ বলে $p + \dfrac{১}{p} = \dfrac{\sqrt{১৭}}{২}$

   $p^২ + \dfrac{১}{p^২} = \left(p - \dfrac{১}{p}\right)^২ + ২ = \dfrac{১}{৪} + ২ = \dfrac{৯}{৪}$

   $p^৩ + \dfrac{১}{p^৩} = \left(p + \dfrac{১}{p}\right)^৩ - ৩\left(p + \dfrac{১}{p}\right) = \dfrac{১৭\sqrt{১৭}}{৮} - \dfrac{৩\sqrt{১৭}}{২} = \dfrac{৫\sqrt{১৭}}{৮}$

   এখন $\left(p^২ + \dfrac{১}{p^২}\right)\left(p^৩ + \dfrac{১}{p^৩}\right) = p^৫ + \dfrac{১}{p^৫} + p + \dfrac{১}{p}$

   $\therefore p^৫ + \dfrac{১}{p^৫} = \dfrac{৯}{৪} \times \dfrac{৫\sqrt{১৭}}{৮} - \dfrac{\sqrt{১৭}}{২} = \dfrac{৪৫\sqrt{১৭}}{৩২} - \dfrac{১৬\sqrt{১৭}}{৩২} = \dfrac{২৯\sqrt{১৭}}{৩২}$। (প্রমাণিত)