গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$।

   $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 56^\circ = \mathbf{124^\circ}$
   $\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 115^\circ = \mathbf{65^\circ}$

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $QS$ চাপের উপর $\angle QOS$ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle QPS$ বৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে, $\angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$।

   অঙ্কন: $PO$ যোগ করে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করি ($T$ বৃত্তের উপর)।

   প্রমাণ: $\triangle OPQ$ এ $OP = OQ$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OPQ = \angle OQP$।
   বহিঃস্থ কোণ $\angle QOT = \angle OPQ + \angle OQP = 2\angle OPQ$ ... (i)

   একইভাবে $\triangle OPS$ এ, $\angle SOT = 2\angle OPS$ ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle QOT + \angle SOT = 2(\angle OPQ + \angle OPS)$
   $\Rightarrow \angle QOS = 2\angle QPS$

   $\therefore \angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: চিত্রে $RP$ ও $RQ$ বৃত্তের যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে স্পর্শক এবং $O$ বৃত্তের কেন্দ্র। প্রমাণ করতে হবে, $OR$ রেখা $PQ$ জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

   অঙ্কন: $OP$, $OQ$ যোগ করি।

   প্রমাণ: স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, তাই $\angle OPR = \angle OQR = 90^\circ$।

   $\triangle OPR$ ও $\triangle OQR$ এ,
   $\angle OPR = \angle OQR = 90^\circ$
   কর্ণ $OR$ = কর্ণ $OR$ (সাধারণ বাহু)
   $OP = OQ$ (ব্যাসার্ধ)

   $\therefore \triangle OPR \cong \triangle OQR$ (সমকোণী-অতিভুজ-বাহু)

   $\therefore RP = RQ$ এবং $\angle ORP = \angle ORQ$।

   এখন $PQ$ এর সাথে $OR$ এর ছেদবিন্দু $M$ হলে, $\triangle PRM$ ও $\triangle QRM$ এ $RP = RQ$, $RM$ সাধারণ এবং $\angle PRM = \angle QRM$। তাই $\triangle PRM \cong \triangle QRM$ (বাহু-কোণ-বাহু)।

   $\therefore PM = QM$ এবং $\angle PMR = \angle QMR$। যেহেতু $\angle PMR + \angle QMR = 180^\circ$, তাই প্রতিটি $= 90^\circ$।

   অর্থাৎ $OR$, $PQ$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং এর উপর লম্ব। $\therefore OR$ রেখা $PQ$ জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)