গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   চিত্রে $P$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $DP$ ব্যাসার্ধ। $r = 4.5$ সেমি।
   পরিধি $= 2\pi r = 2\pi\times 4.5 = 9\pi \approx 28.27$
   অতএব, বৃত্তটির পরিধি $\mathbf{9\pi}$ সেমি (প্রায় ২৮.২৭ সেমি)।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $P$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $DE = DF$ দুটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $P$ থেকে $DE$ ও $DF$ এর লম্ব দূরত্ব সমান।
   অঙ্কন: $P$ থেকে $DE$ ও $DF$ এর উপর লম্ব $PM$ ও $PN$ আঁকি এবং $PD$ যোগ করি।
   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $DM = \dfrac{1}{2}DE$ ও $DN = \dfrac{1}{2}DF$। যেহেতু $DE = DF$, তাই $DM = DN$।
   সমকোণী $\triangle PMD$ ও $\triangle PND$ এ অতিভুজ $PD$ সাধারণ এবং $DM = DN$।
   তাই $PM = \sqrt{PD^2 - DM^2} = \sqrt{PD^2 - DN^2} = PN$।
   অতএব, $DE$ ও $DF$, $P$ বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

3. গ)

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $\triangle DEF$ আঁকি।
   ২. $\angle EDF$ ও $\angle DEF$ এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $I$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৩. $I$ থেকে $EF$ এর উপর লম্ব $IM$ আঁকি।
   ৪. $I$ কে কেন্দ্র করে $IM$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি।
   এই বৃত্তটিই $\triangle DEF$ এর অন্তবৃত্ত, যা ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে স্পর্শ করে।
   প্রমাণ: কোণের সমদ্বিখণ্ডকের উপর যেকোনো বিন্দু কোণের বাহুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী, তাই $I$ থেকে তিন বাহুর দূরত্ব সমান।