গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $l, m, n$ ক্রমিক সমানুপাতিক হলে $\dfrac{l}{m} = \dfrac{m}{n}$, তাই $m^2 = ln$।
   ডানপক্ষ $= \dfrac{l^2 + m^2}{m^2 + n^2} = \dfrac{l^2 + ln}{ln + n^2} = \dfrac{l(l+n)}{n(l+n)} = \dfrac{l}{n} =$ বামপক্ষ। (দেখানো হলো)

2. খ)

   ধরি $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z} = k$। তাহলে $a = kx,\ b = ky,\ c = kz$।
   বামপক্ষ $= \dfrac{k^3x^3 + k^3y^3 + k^3z^3}{x^3+y^3+z^3} = \dfrac{k^3(x^3+y^3+z^3)}{x^3+y^3+z^3} = k^3$
   ডানপক্ষ $= \dfrac{kx\cdot ky\cdot kz}{xyz} = k^3$
   অতএব, $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{x^3+y^3+z^3} = \dfrac{abc}{xyz}$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $m^2 - \dfrac{2m}{a} + 1 = 0$ থেকে $m + \dfrac{1}{m} = \dfrac{2}{a}$।
   যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{m+\frac{1}{m}+2}{m+\frac{1}{m}-2} = \dfrac{\frac{2}{a}+2}{\frac{2}{a}-2}$
   বা $\dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{1+a}{1-a} = \dfrac{p^2}{q^2}$ [কারণ $p=\sqrt{1+a},\ q=\sqrt{1-a}$]
   বা $\dfrac{m+1}{m-1} = \dfrac{p}{q}$ (ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে)
   আবার যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{2m}{2} = \dfrac{p+q}{p-q}$
   অতএব, $m = \dfrac{p+q}{p-q}$। (প্রমাণিত)