গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ ($5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ):

   ১. যেকোনো রশ্মি থেকে $BC=5$ সে.মি. রেখাংশ কাটি।
   ২. $B$ কে কেন্দ্র করে $5$ সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।
   ৩. $C$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ ($5$ সে.মি.) নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি, যেন এটি আগের চাপকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $A,B$ এবং $A,C$ যোগ করি।

   $\triangle ABC$-ই নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজ, কারণ $AB=BC=CA=5$ সে.মি.।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: ত্রিভুজের ভূমি $BC=a=6$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle B=\angle x=25^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $AB-AC=c=2$ সে.মি.। ত্রিভুজ $ABC$ আঁকতে হবে।

   অঙ্কনের বিবরণ:

   ১. যেকোনো রশ্মি থেকে $BC=6$ সে.মি. কাটি।
   ২. $B$ বিন্দুতে $\angle CBX=25^\circ$ আঁকি।
   ৩. $BX$ রশ্মি থেকে $BD=2$ সে.মি. কাটি।
   ৪. $D,C$ যোগ করি।
   ৫. $DC$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা $BX$ রশ্মির বর্ধিতাংশকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৬. $A,C$ যোগ করি।

   $\triangle ABC$-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $A$ বিন্দু $DC$-এর লম্বদ্বিখণ্ডকের ওপর, তাই $AD=AC$। অতএব $AB-AC=AB-AD=BD=2$ সে.মি.। এছাড়া $BC=6$ সে.মি. এবং $\angle B=25^\circ$ (অঙ্কন)। সুতরাং ত্রিভুজটি শর্ত পূরণ করে।

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle B=\angle x=25^\circ$, উচ্চতা $c=2$ সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $AB+AC=a+c=8$ সে.মি.। ত্রিভুজ $ABC$ আঁকতে হবে।

   অঙ্কনের বিবরণ:

   ১. যেকোনো রশ্মি $BX$ আঁকি এবং $B$ বিন্দুতে $\angle XBY=25^\circ$ আঁকি।
   ২. $BX$-এর সমান্তরাল ও $BX$ থেকে $2$ সে.মি. দূরে $BY$-এর দিকে একটি রেখা $\ell$ আঁকি। এটি $BY$-কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে (উচ্চতা $=2$ সে.মি.)।
   ৩. $BY$ রশ্মি থেকে $BD=8$ সে.মি. কাটি ($D$ বিন্দু $A$-এর পরে পড়বে)।
   ৪. $A$ কে কেন্দ্র করে $AD$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি, যা $BX$ রশ্মিকে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $A,C$ যোগ করি।

   $\triangle ABC$-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $AB+AD=BD=8$ সে.মি. এবং $AC=AD$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $AB+AC=8$ সে.মি.। $A$ বিন্দু $BX$ থেকে $2$ সে.মি. উচ্চতায় এবং $\angle B=25^\circ$। সুতরাং শর্ত পূরণ হয়েছে।

   (বৃত্তচাপ $BX$ রশ্মিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে; যেকোনো একটি বিন্দু নিলেই শর্ত পূরণ হয়।)