গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

   $a+b+c=0$ হওয়ায় ডানপক্ষ $=0\times(\dots)=0$

   $\therefore a^3+b^3+c^3-3abc=0$ বা, $a^3+b^3+c^3=3abc$ (প্রমাণিত)

2. খ)

   দেওয়া আছে, $m^2-\frac{2m}{x}+1=0$ বা, $m^2+1=\frac{2m}{x}$ বা, $x=\frac{2m}{m^2+1}$।

   $\frac{1+x}{1-x}=\frac{m^2+1+2m}{m^2+1-2m}=\frac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$

   বা, $\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}=\frac{m+1}{m-1}$ [$m>1$ ধরে]

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=\frac{(m+1)+(m-1)}{(m+1)-(m-1)}=\frac{2m}{2}=m$

   $\therefore m=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\frac p{18}=\frac{qr}{q+r}$ বা, $\frac p9=\frac{2qr}{q+r}$।

   $\frac{p+9q}{p-9q}=\frac{\frac p9+q}{\frac p9-q}=\frac{2qr+q(q+r)}{2qr-q(q+r)}=\frac{q(q+3r)}{q(r-q)}=\frac{q+3r}{r-q}$

   $\frac{p+9r}{p-9r}=\frac{2qr+r(q+r)}{2qr-r(q+r)}=\frac{r(r+3q)}{r(q-r)}=\frac{r+3q}{q-r}=-\frac{3q+r}{r-q}$

   $\therefore$ নির্ণেয় মান $=\frac{q+3r-3q-r}{r-q}=\frac{2r-2q}{r-q}=\mathbf{2}$ [$q\neq r$]