গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $AB > CD$।

   অঙ্কন: $O, C$ এবং $O, D$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\triangle OCD$ এ $OC + OD > CD$। কিন্তু $OC = OD = OA = OB$ (ব্যাসার্ধ), তাই $OC + OD = OA + OB = AB$। সুতরাং $AB > CD$। অর্থাৎ ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PQ \perp ST$ ও $MN \perp ST$ (চিত্র অনুযায়ী $S, O, T$ একই সরলরেখায়), $OS = OT$। প্রমাণ করতে হবে $PQ = MN$।

   অঙ্কন: $O, P$ এবং $O, M$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $OS \perp PQ$ বলে $S$ বিন্দু $PQ$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $PS = \dfrac{1}{2}PQ$। একইভাবে $OT \perp MN$ বলে $MT = \dfrac{1}{2}MN$।

   সমকোণী $\triangle OPS$ ও $\triangle OMT$ এ অতিভুজ $OP = OM$ (ব্যাসার্ধ) এবং $OS = OT$।
   তাই $\triangle OPS \cong \triangle OMT$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু), ফলে $PS = MT$।

   অতএব $\dfrac{1}{2}PQ = \dfrac{1}{2}MN$, অর্থাৎ $PQ = MN$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PM$ চাপের উপর $\angle POM$ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle PRM$ বৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle PRM = \dfrac{1}{2}\angle POM$।

   অঙ্কন: $R, O$ যুক্ত করে $K$ পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন $K$ বৃত্তের উপর থাকে।

   প্রমাণ: $\triangle ORP$ এ $OR = OP$, তাই $\angle ORP = \angle OPR$। বহিঃস্থ $\angle POK = \angle ORP + \angle OPR = 2\angle ORP$ ...... (১)
   একইভাবে $\triangle ORM$ এ $\angle MOK = 2\angle ORM$ ...... (২)

   (১) ও (২) যোগ করে, $\angle POK + \angle MOK = 2(\angle ORP + \angle ORM)$
   অর্থাৎ $\angle POM = 2\angle PRM$।

   সুতরাং $\angle PRM = \dfrac{1}{2}\angle POM$। (প্রমাণিত)