গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$, $AB$ একটি ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। তাহলে $AB=2r$।

   $O, C$ ও $O, D$ যোগ করি। $\triangle OCD$ এ $OC+OD>CD$ (ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়)।

   কিন্তু $OC=OD=r$, তাই $2r>CD$, অর্থাৎ $AB>CD$।

   আবার কেন্দ্রগামী জ্যা-ই ব্যাস। সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   চিত্রে $\triangle MQR$ এ $\angle Q=90^\circ$ এবং $P$, $MR$ এর মধ্যবিন্দু ($PM=PR$)। $L$, $MQ$ এর মধ্যবিন্দু; $L, P$ যোগ করি।

   $\triangle MQR$ এ $L$ ও $P$ যথাক্রমে $MQ$ ও $MR$ বাহুর মধ্যবিন্দু।

   মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও তার অর্ধেক।

   সুতরাং, $LP\parallel QR$ এবং $LP=\frac{1}{2}QR$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\triangle MQR$ এ $P$ হলো $MR$ এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $PM=PR$, এবং $PQ=PR$। প্রমাণ করতে হবে $\angle MQR=90^\circ$।

   $P, Q$ যোগ করি। তাহলে $PM=PQ=PR$।

   $\triangle PQR$ এ $PQ=PR$, তাই $\angle PQR=\angle PRQ$ ...(i)

   $\triangle PMQ$ এ $PM=PQ$, তাই $\angle PMQ=\angle PQM$ ...(ii)

   $\triangle MQR$ এ $\angle QMR+\angle MRQ+\angle MQR=180^\circ$

   এখানে $\angle MQR=\angle PQM+\angle PQR=\angle PMQ+\angle PRQ$ ((i), (ii) থেকে)

   অর্থাৎ $\angle QMR+\angle MRQ=\angle MQR$

   $\therefore 2\angle MQR=180^\circ$

   সুতরাং, $\angle MQR=90^\circ$। (প্রমাণিত)