গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ব্যাস $5$ সেমি ও $6$ সেমি হলে ব্যাসার্ধ $2.5$ সেমি ও $3$ সেমি। অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তরফলের সমান।
   দূরত্ব $= 3 - 2.5 = \mathbf{0.5}$ সেমি।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PQ = QR$ দুটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে $O$ থেকে $PQ$ ও $QR$ এর দূরত্ব সমান।
   অঙ্কন: $O$ থেকে $PQ$ ও $QR$ এর উপর লম্ব $OM$ ও $ON$ আঁকি এবং $OQ$ যোগ করি।
   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $QM = \dfrac{1}{2}PQ$ ও $QN = \dfrac{1}{2}QR$। যেহেতু $PQ = QR$, তাই $QM = QN$।
   সমকোণী $\triangle OMQ$ ও $\triangle ONQ$ এ অতিভুজ $OQ$ সাধারণ এবং $QM = QN$। তাই $OM = \sqrt{OQ^2 - QM^2} = \sqrt{OQ^2 - QN^2} = ON$।
   অতএব, $PQ$ ও $QR$ জ্যাদ্বয় কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PQRS$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে $\angle PQR + \angle PSR = 2$ সমকোণ।
   অঙ্কন: $O, P$ এবং $O, R$ যোগ করি।
   প্রমাণ: চাপ $PSR$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POR$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle PQR$, তাই $\angle POR = 2\angle PQR$ ...(১)
   চাপ $PQR$ এর উপর কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ $= 360^\circ - \angle POR$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle PSR$, তাই $360^\circ - \angle POR = 2\angle PSR$ ...(২)
   (১) ও (২) যোগ করে $360^\circ = 2(\angle PQR + \angle PSR)$
   অতএব, $\angle PQR + \angle PSR = 180^\circ = 2$ সমকোণ। (প্রমাণিত)