গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   দেওয়া আছে, $\cos A = \dfrac{1}{3}$।

   $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

   $\cot A = \dfrac{\cos A}{\sin A} = \dfrac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

   উত্তর: $\cot A = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

2. খ)

   এখানে $N = \cos\theta$। সমীকরণ:

   $4N^2 - (2 + 2\sqrt{3})N + \sqrt{3} = 0$

   $\Rightarrow 4N^2 - 2N - 2\sqrt{3}N + \sqrt{3} = 0$

   $\Rightarrow 2N(2N - 1) - \sqrt{3}(2N - 1) = 0$

   $\Rightarrow (2N - 1)(2N - \sqrt{3}) = 0$

   হয় $N = \dfrac{1}{2}$, অর্থাৎ $\cos\theta = \cos 60°$, তাই $\theta = 60°$;

   অথবা $N = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, অর্থাৎ $\cos\theta = \cos 30°$, তাই $\theta = 30°$।

   উত্তর: $\theta = 30°$ অথবা $60°$

3. গ)

   দেওয়া আছে, $(M + N)(2 - \sqrt{3}) = (M - N)(2 + \sqrt{3})$

   $\Rightarrow M(2 - \sqrt{3}) + N(2 - \sqrt{3}) = M(2 + \sqrt{3}) - N(2 + \sqrt{3})$

   $\Rightarrow N(2 - \sqrt{3}) + N(2 + \sqrt{3}) = M(2 + \sqrt{3}) - M(2 - \sqrt{3})$

   $\Rightarrow 4N = 2\sqrt{3}\,M$

   $\Rightarrow \dfrac{N}{M} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

   এখানে $\dfrac{N}{M} = \dfrac{\cos\theta}{\cot\theta} = \cos\theta \times \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin\theta$

   $\therefore \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60°$, তাই $\theta = 60°$ ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ)।

   $2\sin\dfrac{\theta}{2} = 2\sin 30° = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1$

   উত্তর: ১