গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $OA$ রেখা আঁকি। $O$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি চাপ আঁকি, যা $OA$ কে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ২. $P$ থেকে একই ব্যাসার্ধে চাপের উপর $B$ কাটি, আবার $B$ থেকে $C$ কাটি। তাহলে $\angle POB = 60^\circ$ ও $\angle POC = 120^\circ$।
   ৩. $\angle BOC = 60^\circ$ এর সমদ্বিখণ্ডক $OE$ আঁকি। তাহলে $\angle POE = 90^\circ$।
   ৪. $\angle EOC = 30^\circ$ এর সমদ্বিখণ্ডক $OF$ আঁকি। তাহলে $\angle EOF = 15^\circ$।

   $\angle POF = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$। এটিই নির্ণেয় কোণ।

2. খ)

   ভূমি $a = 6$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle X = 45^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d = 2$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC = 6$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $B$ বিন্দুতে $\angle CBX = 45^\circ$ আঁকি।
   ৩. $BX$ রশ্মি থেকে $BD = 2$ সে.মি. কেটে নিই।
   ৪. $D, C$ যোগ করি এবং $DC$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি; এটি $BX$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $A, C$ যোগ করি।

   $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ, কারণ $AD = AC$ বলে $AB - AC = BD = 2$ সে.মি.।

3. গ)

   ব্যাসার্ধ $\frac{a}{2} = 3$ সে.মি.। স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $45^\circ$ হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের ব্যাসার্ধ দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ হবে।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $O$ কেন্দ্র নিয়ে $3$ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকি এবং এর উপর $P$ বিন্দু নিই। $O, P$ যোগ করি।
   ২. $O$ বিন্দুতে $\angle POQ = 135^\circ$ আঁকি ($90^\circ$ এর সাথে একটি $45^\circ$ যোগ করে), $OQ$ বৃত্তকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৩. $P$ বিন্দুতে $OP$ এর উপর এবং $Q$ বিন্দুতে $OQ$ এর উপর লম্ব আঁকি। লম্ব দুইটি $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $TP$ ও $TQ$ ই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়। প্রমাণ: $OPTQ$ চতুর্ভুজে $\angle P = \angle Q = 90^\circ$ ও $\angle POQ = 135^\circ$, তাই $\angle PTQ = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 135^\circ = 45^\circ$।