গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\cot\theta\sqrt{1-\cos^2\theta}=\cot\theta\sqrt{\sin^2\theta}=\cot\theta\sin\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\times\sin\theta=\cos\theta$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   গাছের উচ্চতা $=80$ মিটার। শেষ অবস্থান থেকে গাছের গোড়ার দূরত্ব $d$ মিটার ধরি।

   $45^\circ$ কোণে: $\tan45^\circ=\frac{80}{d}\Rightarrow d=80$

   $30^\circ$ কোণে (প্রথম অবস্থান থেকে দূরত্ব $x+80$): $\tan30^\circ=\frac{80}{x+80}\Rightarrow\frac1{\sqrt3}=\frac{80}{x+80}$

   $\Rightarrow x+80=80\sqrt3\Rightarrow x=80(\sqrt3-1)=80\times0.732=58.56$

   উত্তর: $x\approx58.56$ মিটার

3. গ)

   ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $L$ মিটার হলে দণ্ডায়মান অংশ $=(80-L)$ মিটার। ভাঙা অংশ, দণ্ডায়মান অংশ ও ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যার অতিভুজ $L$ এবং অতিভুজ ও দণ্ডায়মান অংশের মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$।

   $\cos30^\circ=\frac{80-L}{L}\Rightarrow\frac{\sqrt3}{2}L=80-L$

   $\Rightarrow L\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right)=80\Rightarrow L=\frac{160}{2+\sqrt3}=160(2-\sqrt3)$

   $=160\times0.268=42.88$ (প্রায়)

   উত্তর: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য প্রায় ৪২.৮৭ মিটার।