গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $1, x, 16$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $1 : x = x : 16$
   $\Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$

   (ধনাত্মক মান ধরলে $x = 4$)

2. খ)

   দেওয়া আছে, $D = p^4 - p^2 + 1 = 0$। $p \neq 0$ বলে $p^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $p^2 - 1 + \frac{1}{p^2} = 0 \Rightarrow p^2 + \frac{1}{p^2} = 1$

   $\frac{p^6+1}{p^3} = p^3 + \frac{1}{p^3} = \left(p + \frac{1}{p}\right)\left(p^2 - 1 + \frac{1}{p^2}\right) = \left(p + \frac{1}{p}\right)\times 0 = \mathbf{0}$

3. গ)

   দেওয়া আছে, $y = \frac{\sqrt{E}+\sqrt{F}}{\sqrt{E}-\sqrt{F}}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{y+1}{y-1} = \frac{2\sqrt{E}}{2\sqrt{F}} = \frac{\sqrt{E}}{\sqrt{F}}$

   বর্গ করে, $\frac{(y+1)^2}{(y-1)^2} = \frac{E}{F} = \frac{2a+3b}{2a-3b}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(y+1)^2 + (y-1)^2}{(y+1)^2 - (y-1)^2} = \frac{(2a+3b)+(2a-3b)}{(2a+3b)-(2a-3b)}$

   $\Rightarrow \frac{2y^2 + 2}{4y} = \frac{4a}{6b}$
   $\Rightarrow \frac{y^2+1}{2y} = \frac{2a}{3b}$
   $\Rightarrow 3b(y^2+1) = 4ay$
   $\Rightarrow 3by^2 - 4ay + 3b = 0$ (প্রমাণিত)