গণিত • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

ABCD একটি চতুর্ভুজ, যার ∠ABC+∠ADC=180∘ \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ} , আবার O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত।

  1. ক)

    E E কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ F বিন্দু হতে FM এবং FN দুটি স্পর্শক। ∠FMN=35∘ \angle \mathrm{FMN}=35^{\circ} হলে, ∠MEN= \angle \mathrm{MEN}= কত?

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

    (2)
  3. গ)

    PQ এবং RS জ্যাদ্বয় O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে M বিন্দুতে যদি সমকোণে মিলিত হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ∠POS+∠QOR= \angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{QOR}= দুই সমকোণ

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    FF বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান, তাই FM=FNFM=FN। ∴ ∠FNM=∠FMN=35∘\therefore\ \angle FNM=\angle FMN=35^{\circ}। △FMN\triangle FMN-এ ∠MFN=180∘−35∘−35∘=110∘\angle MFN=180^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=110^{\circ}। স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ লম্ব, তাই ∠EMF=∠ENF=90∘\angle EMF=\angle ENF=90^{\circ}। চতুর্ভুজ EMFNEMFN-এ ∠MEN=360∘−90∘−90∘−110∘=70∘\angle MEN=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-110^{\circ}=\mathbf{70^{\circ}}।

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: ABCDABCD চতুর্ভুজে ∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}। প্রমাণ করতে হবে A,B,C,DA,B,C,D সমবৃত্ত।

    অঙ্কন: একই সরলরেখায় নয় এমন A,B,CA,B,C বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। ধরি বৃত্তটি DD বিন্দু দিয়ে যায় না। ADAD রেখা (বা বর্ধিতাংশ) বৃত্তকে EE বিন্দুতে ছেদ করে। CECE যোগ করি।

    প্রমাণ: ABCEABCE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই ∠ABC+∠AEC=180∘\angle ABC+\angle AEC=180^{\circ}। শর্ত অনুযায়ী ∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}। ∴ ∠AEC=∠ADC\therefore\ \angle AEC=\angle ADC।

    কিন্তু △CDE\triangle CDE-এ ∠AEC\angle AEC হলো (বা তার সম্পূরক হিসেবে) ∠ADC\angle ADC এর সাথে একটি বহিঃস্থ ও তার অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সম্পর্কে থাকে। বহিঃকোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ থেকে বড় হয়, কখনও সমান হতে পারে না। এটি অসম্ভব, তাই EE ও DD একই বিন্দু।

    অতএব DD বিন্দু A,B,CA,B,C দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের উপর অবস্থিত। ∴ A,B,C,D\therefore\ A,B,C,D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: OO কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQPQ ও RSRS জ্যাদ্বয় MM বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে, অর্থাৎ ∠PMR=90∘\angle PMR=90^{\circ}। প্রমাণ করতে হবে ∠POS+∠QOR=180∘\angle POS+\angle QOR=180^{\circ}।

    অঙ্কন: PRPR যোগ করি।

    প্রমাণ:
    চাপ PSPS এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POS\angle POS ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PRS\angle PRS। তাই ∠POS=2∠PRS=2∠PRM\angle POS=2\angle PRS=2\angle PRM। ...(১)
    চাপ QRQR এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOR\angle QOR ও বৃত্তস্থ কোণ ∠QPR\angle QPR। তাই ∠QOR=2∠QPR=2∠RPM\angle QOR=2\angle QPR=2\angle RPM। ...(২)

    (১) ও (২) যোগ করে পাই ∠POS+∠QOR=2(∠PRM+∠RPM)\angle POS+\angle QOR=2(\angle PRM+\angle RPM)।

    সমকোণী △PMR\triangle PMR-এ ∠PMR=90∘\angle PMR=90^{\circ}, তাই ∠PRM+∠RPM=90∘\angle PRM+\angle RPM=90^{\circ}।

    ∴ ∠POS+∠QOR=2×90∘=180∘=\therefore\ \angle POS+\angle QOR=2\times90^{\circ}=180^{\circ}= দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন