গণিত • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২২

গণিত প্রশ্ন

K=sin⁡α,M=cos⁡α,A=30∘, যেখানে α সূককোণ।  \mathrm{K}=\sin \alpha, \mathrm{M}=\cos \alpha, \mathrm{A}=30^{\circ} \text {, যেখানে } \alpha \text { সূককোণ। }

  1. ক)

    1−cot⁡2 A1+cot⁡2 A+cos⁡2 A \frac{1-\cot ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}+\cos ^{2} \mathrm{~A} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    2M2+3 K=3 2 \mathrm{M}^{2}+3 \mathrm{~K}=3 হলে α \alpha এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    M−K=2 K \mathrm{M}-\mathrm{K}=\sqrt{2} \mathrm{~K} হলে প্রমাণ কর যে, K+M=2M \mathrm{K}+\mathrm{M}=\sqrt{2} \mathrm{M} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    1−cot⁡2A1+cot⁡2A=1−cot⁡2Acosec⁡2A=(1−cot⁡2A)sin⁡2A=sin⁡2A−cos⁡2A\dfrac{1-\cot^2A}{1+\cot^2A}=\dfrac{1-\cot^2A}{\operatorname{cosec}^2A}=(1-\cot^2A)\sin^2A=\sin^2A-\cos^2A

    ∴\therefore প্রদত্ত রাশি =sin⁡2A−cos⁡2A+cos⁡2A=sin⁡2A=sin⁡230∘=(12)2=14=\sin^2A-\cos^2A+\cos^2A=\sin^2A=\sin^230^\circ=\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14

    উত্তর: 14\dfrac14

  2. খ)

    2M2+3K=32M^2+3K=3 থেকে, 2cos⁡2α+3sin⁡α=32\cos^2\alpha+3\sin\alpha=3

    বা, 2(1−sin⁡2α)+3sin⁡α−3=02(1-\sin^2\alpha)+3\sin\alpha-3=0

    বা, 2sin⁡2α−3sin⁡α+1=02\sin^2\alpha-3\sin\alpha+1=0

    বা, (2sin⁡α−1)(sin⁡α−1)=0(2\sin\alpha-1)(\sin\alpha-1)=0

    sin⁡α=12\sin\alpha=\dfrac12 অথবা sin⁡α=1\sin\alpha=1। sin⁡α=1\sin\alpha=1 হলে α=90∘\alpha=90^\circ, যা সূক্ষ্মকোণ নয়। তাই sin⁡α=12=sin⁡30∘\sin\alpha=\dfrac12=\sin30^\circ।

    উত্তর: α=30∘\alpha=30^\circ

  3. গ)

    দেওয়া আছে, M−K=2KM-K=\sqrt2K

    বা, M=2K+K=(2+1)KM=\sqrt2K+K=(\sqrt2+1)K

    বা, K=M2+1=M(2−1)(2+1)(2−1)=(2−1)MK=\dfrac{M}{\sqrt2+1}=\dfrac{M(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=(\sqrt2-1)M

    এখন, K+M=(2−1)M+M=2MK+M=(\sqrt2-1)M+M=\sqrt2M

    ∴K+M=2M\therefore K+M=\sqrt2M (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন