গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\triangle ABC$ এর বাহু $a=BC=4$, $b=AC=6$, $c=AB=3$ সে.মি.
   অর্ধপরিসীমা $s=\frac{4+6+3}{2}=6.5$ সে.মি.

   ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{6.5\times 2.5\times 0.5\times 3.5}=\sqrt{28.4375}\approx 5.33$

   নির্ণেয় ক্ষেত্রফল প্রায় ৫.৩৩ বর্গ সে.মি.

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এর $BD$ মধ্যমা, অর্থাৎ $D$ বিন্দু $AC$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $AB^2+BC^2=2(AD^2+BD^2)$।

   অঙ্কন: $B$ থেকে $AC$ এর ওপর $BE$ লম্ব আঁকি।

   প্রমাণ: ধরি $AB>BC$। তাহলে $E$ বিন্দু $D$ ও $C$ এর মাঝে থাকে এবং $\angle ADB$ স্থূলকোণ, $\angle BDC$ সূক্ষ্মকোণ।

   ১. স্থূলকোণী $\triangle ABD$ এ, $AB^2=AD^2+BD^2+2AD\cdot DE$ ...(i)
   ২. সূক্ষ্মকোণী $\triangle BDC$ এ, $BC^2=BD^2+DC^2-2DC\cdot DE$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
   $AB^2+BC^2=AD^2+DC^2+2BD^2+2DE(AD-DC)$

   $D$ মধ্যবিন্দু বলে $AD=DC$। তাই $2DE(AD-DC)=0$ এবং
   $AB^2+BC^2=2AD^2+2BD^2=2(AD^2+BD^2)$

   যদি $AB=BC$ হয়, তাহলে $BD\perp AC$ এবং $E$ ও $D$ একই বিন্দু। তখন $AB^2=AD^2+BD^2$ ও $BC^2=DC^2+BD^2$, যোগ করে একই ফল পাওয়া যায়।

   সুতরাং, $AB^2+BC^2=2(AD^2+BD^2)$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এ $AB=AC$, $\angle A=90^\circ$ এবং $BC$ এর ওপর $P$ যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $PB^2+PC^2=2PA^2$।

   অঙ্কন: $A$ থেকে $BC$ এর ওপর $AD$ লম্ব আঁকি।

   প্রমাণ: $AB=AC$ ও $\angle A=90^\circ$ বলে $\angle B=\angle C=45^\circ$। $\triangle ABD$ এ $\angle ADB=90^\circ$ ও $\angle B=45^\circ$, তাই $\angle BAD=45^\circ$ এবং $AD=BD$। আবার $\triangle ABD\cong\triangle ACD$ বলে $BD=DC$। সুতরাং $AD=BD=DC$।

   ধরি $P$ বিন্দু $D$ ও $C$ এর মাঝে অবস্থিত (অন্য ক্ষেত্রে প্রমাণ একই)। তাহলে
   $PB=BD+DP$ এবং $PC=DC-DP=BD-DP$

   $PB^2+PC^2=(BD+DP)^2+(BD-DP)^2=2BD^2+2DP^2$

   সমকোণী $\triangle ADP$ এ, $PA^2=AD^2+DP^2=BD^2+DP^2$ ($\because AD=BD$)

   $\therefore PB^2+PC^2=2(BD^2+DP^2)=2PA^2$

   যদি $P$ ও $D$ একই বিন্দু হয়, তাহলে $PB=PC=PA$ এবং ফল সহজেই সত্য।

   সুতরাং, $PB^2+PC^2=2PA^2$ (প্রমাণিত)।