গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটির প্রথম পদ $a=8$, সাধারণ অন্তর $d=11-8=3$।

   $n$-তম পদ $=a+(n-1)d=8+(n-1)\times3=383$ বা, $(n-1)\times3=375$ বা, $n-1=125$

   $\therefore n=\mathbf{126}$; অর্থাৎ ধারাটির $126$-তম পদ $383$।

2. খ)

   মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   $S_6=\frac62(2a+5d)=75$ বা, $2a+5d=25$ ... (১)

   $S_{10}=\frac{10}2(2a+9d)=185$ বা, $2a+9d=37$ ... (২)

   (২) − (১): $4d=12$ বা, $d=3$। (১) এ বসিয়ে, $2a+15=25$ বা, $a=5$।

   $17$-তম পদ $=a+16d=5+16\times3=5+48=\mathbf{53}$

3. গ)

   মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   ৪র্থ পদ: $ar^3=\frac1{16}$ এবং ৭ম পদ: $ar^6=\frac1{128}$

   ভাগ করে, $r^3=\frac{1}{128}\times16=\frac18=\left(\frac12\right)^3$ বা, $r=\frac12$।

   $a\times\frac18=\frac1{16}$ বা, $a=\frac12$।

   $S_6=\frac{a(1-r^6)}{1-r}=\frac{\frac12\left(1-\frac1{64}\right)}{1-\frac12}=\frac{\frac12\times\frac{63}{64}}{\frac12}=\mathbf{\frac{63}{64}}$