গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ একটি ব্যাস নয় এমন জ্যা এবং $PQ$ একটি ব্যাস। প্রমাণ করতে হবে $PQ>AB$।

   অঙ্কন: $O,A$ ও $O,B$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle OAB$-এ $OA+OB>AB$ (ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)। কিন্তু $OA=OB=$ ব্যাসার্ধ $r$, তাই $OA+OB=2r=PQ$।

   $\therefore PQ>AB$। কেন্দ্রগামী জ্যা-ই ব্যাস, তাই ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$।

   অঙ্কন: $O,A$ ও $O,C$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $ADC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ ধরি $x$ (অর্থাৎ $O$ বিন্দুতে $ADC$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কোণ)। তাহলে $ABC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $=360^\circ-x$।

   একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। $\angle ABC$ বৃত্তস্থ কোণটি $ADC$ চাপের ওপর এবং $\angle ADC$ বৃত্তস্থ কোণটি $ABC$ চাপের ওপর দণ্ডায়মান। তাই

   $\angle ABC=\frac12x$ এবং $\angle ADC=\frac12(360^\circ-x)$।

   $\therefore\angle ABC+\angle ADC=\frac12x+\frac12(360^\circ-x)=180^\circ$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $E$ থেকে $EA$ ও $ED$ দুইটি স্পর্শক। $OE$ জ্যা $AD$-কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে, $OE$ জ্যা $AD$-এর সমদ্বিখণ্ডক (অর্থাৎ $AM=DM$)।

   অঙ্কন: $O,A$ ও $O,D$ যোগ করি।

   প্রমাণ: স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব, তাই $\angle OAE=\angle ODE=90^\circ$।

   $\triangle OAE$ ও $\triangle ODE$-এ, $OA=OD$ (ব্যাসার্ধ), $OE$ সাধারণ অতিভুজ এবং $\angle OAE=\angle ODE=90^\circ$।

   $\therefore\triangle OAE\cong\triangle ODE$ (অতিভুজ-বাহু)। সুতরাং $EA=ED$ এবং $\angle AEO=\angle DEO$।

   এখন $\triangle AEM$ ও $\triangle DEM$-এ, $EA=ED$, $\angle AEM=\angle DEM$ এবং $EM$ সাধারণ বাহু।

   $\therefore\triangle AEM\cong\triangle DEM$ (বাহু-কোণ-বাহু)। অতএব $AM=DM$ এবং $\angle AME=\angle DME=90^\circ$।

   $\therefore OE$ জ্যা $AD$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, অর্থাৎ সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)