গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   প্রমাণ: মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $AB$ যেকোনো একটি জ্যা এবং ব্যাসার্ধ $r$। $O, A$ এবং $O, B$ যোগ করি।

   যদি $AB$ কেন্দ্রগামী না হয়, তবে $\triangle OAB$-এ $AB < OA + OB = r + r = 2r$।

   যদি $AB$ কেন্দ্রগামী হয়, তবে $AB$ ব্যাস এবং $AB = OA + OB = 2r$।

   উভয় ক্ষেত্রে $AB \le 2r$। ব্যাসের দৈর্ঘ্য $2r$। সুতরাং ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   চিত্রে $OM \perp PQ$, $ON \perp PS$ এবং $OM = ON$। $O, P$ যোগ করি।

   কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $PM = \dfrac{1}{2}PQ$ এবং $PN = \dfrac{1}{2}PS$।

   এখন $\triangle OMP$ ও $\triangle ONP$-এ,
   $\angle OMP = \angle ONP = 90°$
   অতিভুজ $OP$ = অতিভুজ $OP$ (সাধারণ)
   $OM = ON$ (দেওয়া আছে)

   $\therefore \triangle OMP \cong \triangle ONP$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   $\therefore PM = PN$, অতএব $\dfrac{1}{2}PQ = \dfrac{1}{2}PS$

   $\therefore PQ = PS$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   প্রমাণ: $O$ কেন্দ্র। $Q, O$ এবং $S, O$ যোগ করি। জ্যা $QS$-এর ফলে বৃত্তটি দুটি চাপে বিভক্ত: চাপ $QRS$ এবং চাপ $QPS$। ধরি, চাপ $QRS$-এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle QOS = x$। তাহলে চাপ $QPS$-এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $= 360° - x$ (প্রবৃদ্ধ কোণ)।

   বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অতএব,

   $\angle QPS = \dfrac{x}{2}$ (চাপ $QRS$-এর ওপর)

   $\angle QRS = \dfrac{360° - x}{2}$ (চাপ $QPS$-এর ওপর)

   যোগ করে, $\angle QPS + \angle QRS = \dfrac{x}{2} + \dfrac{360° - x}{2} = \dfrac{360°}{2} = 180°$

   $\therefore \angle QPS + \angle QRS = 180°$ (প্রমাণিত)