গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan\theta=\dfrac1{\sqrt3}=\tan30^\circ$, তাই $\theta=30^\circ$।

   $\cos\theta=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$।

   (বিকল্প: লম্ব $=1$, ভূমি $=\sqrt3$, অতিভুজ $=\sqrt{1+3}=2$, তাই $\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}2$।)

2. খ)

   চিত্রে $\triangle PQR$ এ $\angle Q=90^\circ$, $PQ=2\sqrt3$, $QR=2$।

   $\tan R=\dfrac{PQ}{QR}=\dfrac{2\sqrt3}2=\sqrt3=\tan60^\circ$, তাই $\angle R=60^\circ$।

   $\angle P=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ ($\tan P=\dfrac2{2\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}$ ✓)।

   চিত্রানুসারে, $\alpha+\beta=60^\circ$ ...(i) এবং $\alpha-\beta=30^\circ$ ...(ii)

   (i) $+$ (ii): $2\alpha=90^\circ$, তাই $\alpha=45^\circ$

   (i) $-$ (ii): $2\beta=30^\circ$, তাই $\beta=15^\circ$

   সুতরাং, $\alpha=\mathbf{45^\circ}$ এবং $\beta=\mathbf{15^\circ}$।

3. গ)

   শর্তমতে, $\sin3\theta+\cos3\theta=1$

   উভয়পক্ষ বর্গ করে, $\sin^23\theta+\cos^23\theta+2\sin3\theta\cos3\theta=1$

   বা, $1+\sin6\theta=1$, তাই $\sin6\theta=0$

   $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই $0^\circ<6\theta<540^\circ$। অতএব $6\theta=180^\circ$ বা $360^\circ$, অর্থাৎ $\theta=30^\circ$ বা $60^\circ$।

   যাচাই: $\theta=30^\circ$ হলে $\sin90^\circ+\cos90^\circ=1+0=1$ ✓। $\theta=60^\circ$ হলে $\sin180^\circ+\cos180^\circ=0-1=-1\ne1$ ✗ (বর্গ করার ফলে আসা বাড়তি মান)।

   সুতরাং, $\theta=\mathbf{30^\circ}$।