f(z)=sin⁡z f(z)=sin z এবং g(z)=cos⁡z g(z)=cos z

গণিত • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২০

f(z)=sin⁡z f(z)=\sin z এবং g(z)=cos⁡z g(z)=\cos z

ক)
tan⁡A=34 \tan \mathrm{A}=\frac{3}{4} হলে, দেখাও যে, sin⁡A⋅cos⁡A=1225 \sin \mathrm{A} \cdot \cos \mathrm{A}=\frac{12}{25}
(1)
খ)
প্রমাণ কর যে, f(A)1−g(A)+1−g(A)f(A)=2f(A) \frac{f(A)}{1-g(A)}+\frac{1-g(A)}{f(A)}=\frac{2}{f(A)}
(2)
গ)
2{g(π2−θ)}2+3f(π2−θ)−3=0 2\left{g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right}^{2}+3 f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-3=0 হলে . θ \theta এর মান নির্ণয় কর।
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
$\tan A=\dfrac34$ , তাই লম্ব $=3$ , ভূমি $=4$ , অতিভুজ $=\sqrt{9+16}=5$ ।

$\sin A=\dfrac35$ , $\cos A=\dfrac45$

$\sin A\cdot\cos A=\dfrac35\times\dfrac45=\dfrac{12}{25}$ । (দেখানো হলো)
খ)
বামপক্ষ $=\dfrac{\sin A}{1-\cos A}+\dfrac{1-\cos A}{\sin A}=\dfrac{\sin^2A+(1-\cos A)^2}{\sin A(1-\cos A)}$

$=\dfrac{\sin^2A+1-2\cos A+\cos^2A}{\sin A(1-\cos A)}=\dfrac{2-2\cos A}{\sin A(1-\cos A)}=\dfrac{2(1-\cos A)}{\sin A(1-\cos A)}=\dfrac2{\sin A}=\dfrac2{f(A)}=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
গ)
$g\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$ এবং $f\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$ ।

শর্তমতে, $2\sin^2\theta+3\cos\theta-3=0$

বা, $2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta-3=0$

বা, $2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$

বা, $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$

$\cos\theta=\dfrac12$ অথবা $\cos\theta=1$

$\cos\theta=1$ হলে $\theta=0^\circ$ (তুচ্ছ সমাধান)। $\cos\theta=\dfrac12$ হলে $\theta=60^\circ$ ।

সুতরাং, $\theta=\mathbf{60^\circ}\left(=\dfrac\pi3\right)$ ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও