গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $= 2\pi r\times\frac{\theta}{360^\circ} = 2\pi\times 12\times\frac{60}{360} = 4\pi \approx \mathbf{12.57}$ সে.মি.

2. খ)

   প্রদত্ত সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 4 সে.মি.; ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2 = 4\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.।

   বাহু $x$ সে.মি. বাড়ালে ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4}(4+x)^2$। শর্তমতে,
   $\frac{\sqrt{3}}{4}(4+x)^2 = 4\sqrt{3} + 20\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$
   $\Rightarrow (4+x)^2 = 96 \Rightarrow 4 + x = 4\sqrt{6}$
   $\Rightarrow x = 4\sqrt{6} - 4 \approx \mathbf{5.80}$

   বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় 5.80 সে.মি. বাড়াতে হবে।

3. গ)

   ধরি দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $5k$, $3k$, $2k$ সে.মি.। কর্ণ $= \sqrt{(5k)^2 + (3k)^2 + (2k)^2} = 2\sqrt{19}$

   $\Rightarrow 38k^2 = 4\times 19 = 76 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$

   দৈর্ঘ্য $= 5\sqrt{2}$, প্রস্থ $= 3\sqrt{2}$, উচ্চতা $= 2\sqrt{2}$ সে.মি.।

   সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 2(lb + bh + hl)$
   $= 2(5\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2})$
   $= 2(30 + 12 + 20) = 2\times 62 = \mathbf{124}$ বর্গ সে.মি.