উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$
   এখানে, $a^2 = 9 \implies a = 3$ এবং $b^2 = 5 \implies b = \sqrt{5}$।
   যেহেতু $a > b$, অতএব উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
   $\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা $= \frac{2}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $9x^2 - 16y^2 - 36x - 32y - 124 = 0$
   বা, $9(x^2 - 4x) - 16(y^2 + 2y) = 124$
   বা, $9(x^2 - 4x + 4) - 16(y^2 + 2y + 1) = 124 + 36 - 16$
   বা, $9(x - 2)^2 - 16(y + 1)^2 = 144$
   উভয়পক্ষকে $144$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$
   যা প্রমিত আকার $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$ নির্দেশ করে, যেখানে $X = x - 2, Y = y + 1$ এবং $a^2 = 16 \implies a = 4$, $b^2 = 9 \implies b = 3$।

   অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা:
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$

   উপকেন্দ্রের স্থানাংক:
   $X = \pm ae = \pm 4 \times \frac{5}{4} = \pm 5$
   $Y = 0$

   অতএব,
   $x - 2 = \pm 5 \implies x = 2 \pm 5 \implies x = 7$ অথবা $x = -3$
   এবং $y + 1 = 0 \implies y = -1$

   $\therefore$ উপকেন্দ্রের স্থানাংক $(7, -1)$ এবং $(-3, -1)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $3y^2 - 10x - 12y - 18 = 0$
   বা, $3(y^2 - 4y) = 10x + 18$
   বা, $3(y^2 - 4y + 4) = 10x + 18 + 12$
   বা, $3(y - 2)^2 = 10x + 30 = 10(x + 3)$
   বা, $(y - 2)^2 = \frac{10}{3}(x + 3)$
   $\therefore$ পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক $(-3, 2)$।

   'খ' থেকে প্রাপ্ত অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ:
   $\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$
   অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণযুগল:
   $\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 0$
   বা, $\frac{x - 2}{4} = \pm \frac{y + 1}{3}$
   বা, $3(x - 2) = \pm 4(y + 1)$

   ১ম অসীমতট:
   $3x - 6 = 4y + 4 \implies 3x - 4y - 10 = 0$
   ২য় অসীমতট:
   $3x - 6 = -4y - 4 \implies 3x + 4y - 2 = 0$

   শীর্ষবিন্দু $(-3, 2)$ হতে ১ম অসীমতটের লম্ব দূরত্ব:
   $d_1 = \frac{|3(-3) - 4(2) - 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-9 - 8 - 10|}{5} = \frac{|-27|}{5} = \frac{27}{5}$ একক।

   শীর্ষবিন্দু $(-3, 2)$ হতে ২য় অসীমতটের লম্ব দূরত্ব:
   $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(2) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-9 + 8 - 2|}{5} = \frac{|-3|}{5} = \frac{3}{5}$ একক।

   $\therefore$ নির্ণেয় লম্ব দূরত্বদ্বয় $\frac{27}{5}$ একক এবং $\frac{3}{5}$ একক।