উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:
   $y^2 = 8x + 5$
   $\implies y^2 = 8\left(x + \frac{5}{8}\right)$
   $\implies y^2 = 4 \cdot 2 \left(x + \frac{5}{8}\right)$

   সমীকরণটিকে আদর্শ সমীকরণ $Y^2 = 4aX$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $Y = y$, $X = x + \frac{5}{8}$ এবং $a = 2$

   পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $X = -a$
   $\implies x + \frac{5}{8} = -2$
   $\implies \frac{8x + 5}{8} = -2$
   $\implies 8x + 5 = -16$
   $\implies 8x + 21 = 0$

   নির্ণেয় নিয়ামকের সমীকরণ: $8x + 21 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $x = f(y) = ay^2 + by + c$
   এটি একটি পরাবৃত্ত যার অক্ষরেখা x-অক্ষের সমান্তরাল।

   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(h, k) = (3, -2)$।
   শীর্ষবিন্দু $(h,k)$ বিশিষ্ট এবং অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ:
   $(y - k)^2 = 4p(x - h)$
   $\implies (y - (-2))^2 = 4p(x - 3)$
   $\implies (y + 2)^2 = 4p(x - 3) \quad \text{--- (i)}$

   যেহেতু পরাবৃত্তটি $(5, 0)$ বিন্দুগামী, সুতরাং বিন্দুটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:
   $(0 + 2)^2 = 4p(5 - 3)$
   $\implies 4 = 4p(2)$
   $\implies 8p = 4$
   $\implies 4p = 2$

   (i) নং সমীকরণে $4p = 2$ বসিয়ে পাই,
   $(y + 2)^2 = 2(x - 3)$
   $\implies y^2 + 4y + 4 = 2x - 6$
   $\implies 2x = y^2 + 4y + 10$
   $\implies x = \frac{1}{2}y^2 + 2y + 5$

   প্রদত্ত সমীকরণ $x = ay^2 + by + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $a = \frac{1}{2},\; b = 2,\; c = 5$

   নির্ণেয় মান: $a = \frac{1}{2},\; b = 2,\; c = 5$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-২) হতে দেখা যায়,
   পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $A(1, 2)$ এবং উপকেন্দ্র $S(4, 2)$।

   শীর্ষ ও উপকেন্দ্রের $y$-স্থানাঙ্ক একই ($y=2$), সুতরাং পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং পরাবৃত্তটি ডানদিকে উন্মুক্ত।

   শীর্ষ ও উপকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
   $a = AS = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = 4 - 1 = 3$

   যেহেতু পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(h, k) = (1, 2)$, অক্ষরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এটি ধনাত্মক $x$-অক্ষের দিকে উন্মুক্ত, তাই এর সমীকরণ:
   $(y - k)^2 = 4a(x - h)$
   $\implies (y - 2)^2 = 4 \cdot 3(x - 1)$
   $\implies (y - 2)^2 = 12(x - 1)$
   $\implies y^2 - 4y + 4 = 12x - 12$
   $\implies y^2 - 4y - 12x + 16 = 0$

   নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $(y - 2)^2 = 12(x - 1)$ বা $y^2 - 4y - 12x + 16 = 0$।