উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: 60 কি.মি./ঘ. বেগে একটি বাস সোজা পূর্বদিকে যাওয়ার সময় একজন যাত্রী দেখল যে, বাতাস উত্তর পূর্বদিক হতে 302 30 \sqrt{2} কি.মি./ঘ. বেগে প্রবাহিত হচ্ছে। দৃশ্যকল্প-২: দুটি মোটরসাইকেল সমান্তরাল পথে যথাক্রমে u1,u2 u_{1}, u_{2} আদিবেগে এবং a a ও b b ত্বরণে চলতে লাগল। এরা একই সাথে গন্তব্যস্থলে পৌঁছে।

  1. ক)

    20 ms−1 20 \mathrm{~ms}^{-1} বেগে ঊর্ধ্বগামী একটি বেলুন থেকে একখণ্ড পাথর ফেলে দেওয়া হল। পাথর খণ্ডটি 15 সেকেন্ডে ভূমিতে পতিত হলে কত উঁচু থেকে পাথর খণ্ডটি ফেলা হয়েছিল?

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে বাতাসের প্রকৃত বেগ নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    অতিক্রান্ত দূরত্ব S S হলে দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, S(a−b)2=2(u1−u2)(u1b−u2a) S(a-b)^{2}=2\left(u_{1}-u_{2}\right)\left(u_{1} b-u_{2} a\right) ।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, বেলুন থেকে পাথর ফেলার স্থানটির উচ্চতা hh।
    বেলুনের বেগ তথা পাথরের আদিবেগ খাড়া উপরের দিকে, u=20 ms−1u = 20\text{ ms}^{-1}।
    অভিকর্ষজ ত্বরণ নিচের দিকে কাজ করে, g=9.8 ms−2g = 9.8\text{ ms}^{-2}।
    পতনের মোট সময় t=15 st = 15\text{ s}।

    খাড়া নিচের দিককে ধনাত্মক ধরি অথবা উপরের দিককে ধনাত্মক ধরে গতির সমীকরণ:
    −h=ut−12gt2-h = ut - \frac{1}{2}gt^2
    ⇒h=−ut+12gt2\Rightarrow h = -ut + \frac{1}{2}gt^2
    ⇒h=−(20×15)+12×9.8×(15)2\Rightarrow h = - (20 \times 15) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (15)^2
    ⇒h=−300+4.9×225\Rightarrow h = -300 + 4.9 \times 225
    ⇒h=−300+1102.5\Rightarrow h = -300 + 1102.5
    ⇒h=802.5 m\Rightarrow h = 802.5\text{ m}
    অতএব, 802.5 m802.5\text{ m} উচ্চতা থেকে পাথর খণ্ডটি ফেলা হয়েছিল।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, পূর্ব দিক বরাবর একক ভেক্টর i^\hat{i} এবং উত্তর দিক বরাবর একক ভেক্টর j^\hat{j}।
    বাসের বেগ, v⃗b=60i^ km/h\vec{v}_b = 60\hat{i}\text{ km/h}।

    বাসের যাত্রীর সাপেক্ষে বাতাসের আপেক্ষিক বেগ v⃗wb\vec{v}_{wb}। বাতাস উত্তর-পূর্ব দিক হতে প্রবাহিত হচ্ছে, অর্থাৎ দক্ষিণ-পশ্চিম দিকে ধাবিত হচ্ছে (কোণ 225∘225^\circ বা ঋণাত্মক অক্ষদ্বয়ের দিকে)।
    সুতরাং, v⃗wb=−302cos⁡45∘i^−302sin⁡45∘j^\vec{v}_{wb} = -30\sqrt{2}\cos 45^\circ \hat{i} - 30\sqrt{2}\sin 45^\circ \hat{j}
    v⃗wb=−302(12)i^−302(12)j^=−30i^−30j^\vec{v}_{wb} = -30\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\hat{i} - 30\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\hat{j} = -30\hat{i} - 30\hat{j}

    আমরা জানি, বাতাসের আপেক্ষিক বেগ:
    v⃗wb=v⃗w−v⃗b\vec{v}_{wb} = \vec{v}_w - \vec{v}_b
    ⇒v⃗w=v⃗wb+v⃗b\Rightarrow \vec{v}_w = \vec{v}_{wb} + \vec{v}_b
    ⇒v⃗w=(−30i^−30j^)+60i^=30i^−30j^\Rightarrow \vec{v}_w = (-30\hat{i} - 30\hat{j}) + 60\hat{i} = 30\hat{i} - 30\hat{j}

    বাতাসের প্রকৃত বেগের মান:
    vw=∣v⃗w∣=(30)2+(−30)2=900+900=1800=302 km/h≈42.43 km/hv_w = |\vec{v}_w| = \sqrt{(30)^2 + (-30)^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}\text{ km/h} \approx 42.43\text{ km/h}।

    বাতাসের বেগের দিক:
    tan⁡θ=−3030=−1\tan \theta = \frac{-30}{30} = -1
    এখানে i^\hat{i} ধনাত্মক এবং j^\hat{j} ঋণাত্মক হওয়ায় বাতাস দক্ষিণ-পূর্ব দিকে প্রবাহিত হচ্ছে।
    অতএব, বাতাসের প্রকৃত বেগ 302 km/h30\sqrt{2}\text{ km/h} এবং তা উত্তর-পশ্চিম দিক হতে দক্ষিণ-পূর্ব দিকে প্রবাহিত হচ্ছে।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, মোটরসাইকেল দুটি একই সাথে গন্তব্যে পৌঁছাতে tt সময় নেয় এবং উভয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব SS।
    ১ম মোটরসাইকেলের ক্ষেত্রে:
    S=u1t+12at2S = u_1 t + \frac{1}{2}at^2 ..... (i)
    ২য় মোটরসাইকেলের ক্ষেত্রে:
    S=u2t+12bt2S = u_2 t + \frac{1}{2}bt^2 ..... (ii)

    (i) ও (ii) বিয়োগ করে পাই:
    0=(u1−u2)t+12(a−b)t20 = (u_1 - u_2)t + \frac{1}{2}(a - b)t^2
    যেহেতু t≠0t \neq 0, উভয়পক্ষকে tt দ্বারা ভাগ করে পাই:
    (u1−u2)+12(a−b)t=0(u_1 - u_2) + \frac{1}{2}(a - b)t = 0
    ⇒12(a−b)t=−(u1−u2)=(u2−u1)\Rightarrow \frac{1}{2}(a - b)t = -(u_1 - u_2) = (u_2 - u_1)
    ⇒t=2(u2−u1)a−b\Rightarrow t = \frac{2(u_2 - u_1)}{a - b} ..... (iii)

    আবার, (i) কে bb দ্বারা এবং (ii) কে aa দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করি:
    bS−aS=b(u1t+12at2)−a(u2t+12bt2)bS - aS = b\left(u_1 t + \frac{1}{2}at^2\right) - a\left(u_2 t + \frac{1}{2}bt^2\right)
    ⇒S(b−a)=(u1b−u2a)t+12abt2−12abt2\Rightarrow S(b - a) = (u_1 b - u_2 a)t + \frac{1}{2}abt^2 - \frac{1}{2}abt^2
    ⇒−S(a−b)=(u1b−u2a)t\Rightarrow -S(a - b) = (u_1 b - u_2 a)t ..... (iv)

    এখন, (iv) নং সমীকরণে (iii) হতে tt এর মান বসিয়ে পাই:
    −S(a−b)=(u1b−u2a)⋅2(u2−u1)a−b-S(a - b) = (u_1 b - u_2 a) \cdot \frac{2(u_2 - u_1)}{a - b}
    উভয়পক্ষকে (a−b)(a - b) দ্বারা গুণ করে পাই:
    −S(a−b)2=2(u1b−u2a)(u2−u1)-S(a - b)^2 = 2(u_1 b - u_2 a)(u_2 - u_1)
    ⇒S(a−b)2=−2(u1b−u2a)(u2−u1)\Rightarrow S(a - b)^2 = -2(u_1 b - u_2 a)(u_2 - u_1)
    ⇒S(a−b)2=2(u1−u2)(u1b−u2a)\Rightarrow S(a - b)^2 = 2(u_1 - u_2)(u_1 b - u_2 a)
    (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন