পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর বিশ্লেষণ বা ভেক্টরের বিভাজন বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে। কোনো ভেক্টরের দিক নির্দেশ করার জন্য তার একটি আদিবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট প্রান্তবিন্দু থাকতে হয়। কিন্তু নাল ভেক্টরের মান শূন্য হওয়ায় এর আদিবিন্দু ও শেষবিন্দু একই বিন্দুতে সমাপতিত হয়। ফলে জ্যামিতিকভাবে কোনো নির্দিষ্ট রেখাংশ বা দিক পাওয়া যায় না। তাই নাল ভেক্টরের কোনো সুনির্দিষ্ট দিক থাকে না; এর দিক যেকোনো দিকে বিবেচনা করা যায় বা এটি দিকহীন।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে,
   নৌকার ভর, $m = 500\text{ kg}$
   অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s = 3.6\text{ km} = 3600\text{ m}$
   সময়, $t = 5\text{ min} = 5 \times 60\text{ s} = 300\text{ s}$
   আদিবেগ, $u = 0\text{ ms}^{-1}$

   নৌকাটির ত্বরণ $a$ হলে,
   $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
   বা, $3600 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (300)^2$
   বা, $3600 = \frac{1}{2} \times a \times 90000$
   বা, $45000 a = 3600$
   বা, $a = \frac{3600}{45000} = 0.08\text{ ms}^{-2}$

   অতএব, তীরের সমান্তরালে নৌকার ওপর প্রযুক্ত কার্যকর লব্ধি বল,
   $F_{\text{net}} = ma = 500 \times 0.08 = 40\text{ N}$

   চিত্রানুযায়ী, করিম ও রহিম উভয়েই তীরের সমান্তরাল রেখার সাথে $\theta = 30^\circ$ কোণে সমান $F$ বলে টানছে।
   তীরের সমান্তরালে উভয়ের বলের উপাংশ যোগ হয়ে মোট কার্যকর বল হয়:
   $F_{\text{net}} = F\cos 30^\circ + F\cos 30^\circ = 2F\cos 30^\circ$

   বা, $40 = 2 \times F \times \cos 30^\circ$
   বা, $40 = 2 \times F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}F$
   বা, $F = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23.094\text{ N}$

   সুতরাং, প্রযুক্ত বল $\vec{F}$-এর মান প্রায় $23.09\text{ N}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   করিমের বক্তব্য অনুযায়ী, প্রযুক্ত বলের মান $F$ অপরিবর্তিত রেখে (সমান টানে) $3.6\text{ km}$ দূরত্ব $5\text{ min}$-এর কম সময়ে অতিক্রম করতে হবে।

   তীরের সমান্তরালে কার্যকর ত্বরণ,
   $a' = \frac{F_{\text{net}}'}{m} = \frac{2F\cos\theta}{m}$

   এখানে বল $F$ এবং ভর $m$ ধ্রুবক থাকলে, ত্বরণ $a'$ সর্বাধিক হবে যখন $\cos\theta$-এর মান সর্বাধিক হবে।
   $\cos\theta$-এর সর্বোচ্চ মান $1$, যখন কোণ $\theta = 0^\circ$ হয়। অর্থাৎ দড়ির কোণ কমিয়ে নৌকার গতিপথের বা তীরের সমান্তরালে টানলে কার্যকর বল বৃদ্ধি পাবে।

   যদি কোণ $\theta = 30^\circ$-এর চেয়ে কমিয়ে আনা হয় (যেমন: দড়ি লম্বা করে কোণ $\theta$ কমালে বা তীরের সমান্তরালে টানলে):
   ধরি, $\theta < 30^\circ$
   তাহলে, $\cos\theta > \cos 30^\circ$
   ফলে কার্যকর বল $F_{\text{net}}' > F_{\text{net}}$ হবে এবং ত্বরণ $a' > a$ হবে।

   আমরা জানি, স্থির অবস্থান থেকে নির্দিষ্ট দূরত্ব $s$-এর জন্য,
   $s = \frac{1}{2}at^2 \implies t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$
   যেহেতু কার্যকর ত্বরণ $a'$ বৃদ্ধি পাবে, তাই প্রয়োজনীয় সময় $t'$ হ্রাস পাবে ($t' < t$) অর্থাৎ সময় $5\text{ min}$-এর কম লাগবে।

   সর্বোচ্চ ত্বরণের ক্ষেত্রে ($\theta = 0^\circ$ হলে):
   $F_{\text{net, max}} = 2F = 2 \times 23.094 = 46.188\text{ N}$
   $a_{\text{max}} = \frac{46.188}{500} = 0.0924\text{ ms}^{-2}$
   তখন প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সময়,
   $t_{\text{min}} = \sqrt{\frac{2 \times 3600}{0.0924}} \approx 279.18\text{ s} \approx 4.65\text{ min} < 5\text{ min}$

   সুতরাং, টান $F$ সমান রেখে কোণ $\theta$ হ্রাস করে তীরের সমান্তরালে বলের উপাংশ বাড়িয়ে ৫ মিনিটের কম সময়ে পৌঁছানো সম্ভব। অতএব, করিমের বক্তব্যটি সঠিক।