ধারা দুইটির মান যথাক্রমে, 11.2+12.3+13.4+…..and1−12+13−14+…. \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots . . \quad ext{and}\quad 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots .

Question

ধারা দুইটির মান যথাক্রমে, 11.2+12.3+13.4+…..and1−12+13−14+…. \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots . . \quad	ext{and}\quad 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots .

Accepted Answer

ক. 1, In 2

ব্যাখ্যা: প্রথম ধারাটি একটি টেলিস্কোপিং ধারা:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots = 1$$
দ্বিতীয় ধারাটি হলো $\ln(1+x)$ এর ম্যাকলরিন ধারা, যেখানে $x=1$:
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$$
সুতরাং, $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \ln(1+1) = \ln 2$।
অতএব, ধারা দুইটির মান যথাক্রমে $1$ এবং $\ln 2$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন