উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $8\text{ N}$ ও $5\text{ N}$ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
   বলত্রয় একটি কণার উপর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। সুতরাং, এদের লব্ধি শূন্য।
   অতএব, $8\text{ N}$ ও $5\text{ N}$ বলদ্বয়ের লব্ধির মান তৃতীয় বল অর্থাৎ $7\text{ N}$ এর সমান এবং বিপরীতমুখী হবে।
   লব্ধির সূত্রানুসারে,
   $7^2 = 8^2 + 5^2 + 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos\alpha$
   $\Rightarrow 49 = 64 + 25 + 80\cos\alpha$
   $\Rightarrow 49 = 89 + 80\cos\alpha$
   $\Rightarrow 80\cos\alpha = 49 - 89 = -40$
   $\Rightarrow \cos\alpha = -\frac{40}{80} = -\frac{1}{2}$
   $\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$

   অতএব, $8\text{ N}$ ও $5\text{ N}$ মানের বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $AB$ ও $AC$ বরাবর ক্রিয়াশীল বলদ্বয় যথাক্রমে $P$ ও $Q$।
   উদ্দীপক অনুসারে, $P = k\cos B$ এবং $Q = k\cos C$, যেখানে $k$ একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক।
   মনে করি, এদের লব্ধি $R$, যা $A$ কোণকে $\theta_1$ ও $\theta_2$ অংশে বিভক্ত করে, যেখানে $\theta_1$ হলো $AB$ বাহুর সাথে লব্ধির কোণ এবং $\theta_2$ হলো $AC$ বাহুর সাথে লব্ধির কোণ।
   সুতরাং, $\theta_1 + \theta_2 = A$।

   বলের সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{P}{\sin\theta_2} = \frac{Q}{\sin\theta_1}$
   $\Rightarrow \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{Q}{P} = \frac{k\cos C}{k\cos B} = \frac{\cos C}{\cos B}$
   যোজন-বিয়োজন করে পাই,
   $\frac{\sin\theta_1 - \sin\theta_2}{\sin\theta_1 + \sin\theta_2} = \frac{\cos C - \cos B}{\cos C + \cos B}$
   $\Rightarrow \frac{2\cos\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)} = \frac{2\sin\left(\frac{B+C}{2}\right)\sin\left(\frac{B-C}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{B+C}{2}\right)\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}$
   $\Rightarrow \cot\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)\tan\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \tan\left(\frac{B+C}{2}\right)\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)$
   যেহেতু $\theta_1+\theta_2 = A$, এবং $A+B+C = \pi \Rightarrow \frac{B+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$:
   $\cot\left(\frac{A}{2}\right)\tan\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right)\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)$
   $\Rightarrow \cot\left(\frac{A}{2}\right)\tan\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cot\left(\frac{A}{2}\right)\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)$
   $\Rightarrow \tan\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \tan\left(\frac{B-C}{2}\right)$
   $\Rightarrow \frac{\theta_1-\theta_2}{2} = \frac{B-C}{2} \implies \theta_1 - \theta_2 = B - C$

   এখন,
   $\theta_1 + \theta_2 = A \quad \text{--- (i)}$
   $\theta_1 - \theta_2 = B - C \quad \text{--- (ii)}$
   (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
   $2\theta_1 = A + B - C \implies \theta_1 = \frac{1}{2}(A + B - C)$
   (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
   $2\theta_2 = A - (B - C) = A - B + C \implies \theta_2 = \frac{1}{2}(C + A - B)$

   অতএব, লব্ধি $A$ কোণকে $\frac{1}{2}(A+B-C)$ ও $\frac{1}{2}(C+A-B)$ এই দুই অংশে বিভক্ত করে। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো অনড় বস্তুর $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $F_1$ ও $F_2$ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল এবং এদের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং, সমান্তরাল বলের সূত্রানুসারে,
   $F_1 \cdot AC = F_2 \cdot BC$
   $\Rightarrow F_1 \cdot AC = F_2 (AB - AC)$
   $\Rightarrow (F_1 + F_2) AC = F_2 \cdot AB$
   $\Rightarrow AC = \frac{F_2}{F_1 + F_2} AB \quad \text{--- (i)}$

   এখন, $F_1$ বলের ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে $A$ হতে $d$ দূরত্বে $A'$ বিন্দুতে সরানো হলো (যেখানে $AA' = d$) এবং ধরি নতুন লব্ধি $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।
   তাহলে নতুন অবস্থানের জন্য,
   $F_1 \cdot A'C' = F_2 \cdot BC'$
   $\Rightarrow F_1 \cdot A'C' = F_2 (A'B - A'C')$
   $\Rightarrow (F_1 + F_2) A'C' = F_2 \cdot A'B$
   $\Rightarrow A'C' = \frac{F_2}{F_1 + F_2} A'B \quad \text{--- (ii)}$

   লব্ধির সরণ $x = CC'$।
   চিত্রানুযায়ী, $AC' = AA' + A'C' = d + A'C'$।
   অতএব, লব্ধির সরণ,
   $x = CC' = AC' - AC = d + A'C' - AC$
   (i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই,
   $x = d + \frac{F_2}{F_1 + F_2} A'B - \frac{F_2}{F_1 + F_2} AB$
   $= d + \frac{F_2}{F_1 + F_2} (A'B - AB)$
   যেহেতু $AB - A'B = AA' = d \Rightarrow A'B - AB = -d$,
   $x = d + \frac{F_2}{F_1 + F_2} (-d)$
   $= d \left(1 - \frac{F_2}{F_1 + F_2}\right)$
   $= d \left(\frac{F_1 + F_2 - F_2}{F_1 + F_2}\right)$
   $= \frac{F_1 d}{F_1 + F_2}$

   [প্রশ্নের মুদ্রণপ্রমাদ সংশোধন: প্রশ্নে $d_1$ উল্লেখ থাকলেও উদ্দীপকে সরণ 'd' দেওয়া আছে, সুতরাং লব্ধির সরণ $\frac{F_1 d}{F_1 + F_2}$]

   অতএব, লব্ধি $\frac{F_1 d}{F_1 + F_2}$ দূরত্বে সরে যায়। (দেখানো হলো)