উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
z=α+βi \mathrm{z}=\alpha+\beta \mathrm{i} , যেখানে α \alpha ও β \beta বাস্তব সংখ্যা।
- ক)(1)
x3−8x−2 \frac{x^{3}-8}{x-2} বহুপদীর ঘাত নির্ণয় কর।
- খ)(2)
উদ্দীপকে α=2,β=3 \alpha=2, \beta=\sqrt{3} হলে, z \mathrm{z} মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।
- গ)(3)
উদ্দীপকে β=0 \beta=0 এবং α5 \alpha^{5} ও α15 \alpha^{15} এর সহগ পরস্পর সমান হলে (2z2+Rz3)10 \left(2 z^{2}+\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{z}^{3}}\right)^{10} এর বিস্তৃতি থেকে R এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
(\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4) (যেখানে (x \neq 2))
প্রাপ্ত বহুপদীতে চলক (x)-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
সুতরাং, নির্ণেয় বহুপদীর ঘাত = 2। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, (z = \alpha + \beta i)
(\alpha = 2, \beta = \sqrt{3}) হলে,
(z = 2 + \sqrt{3}i)
বাস্তব সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগল হিসেবে থাকে।
অতএব, অপর মূলটি হবে (2 - \sqrt{3}i)।মূলদ্বয়ের যোগফল = ((2 + \sqrt{3}i) + (2 - \sqrt{3}i) = 4)
মূলদ্বয়ের গুণফল = ((2 + \sqrt{3}i)(2 - \sqrt{3}i) = 2^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 4 - 3(-1) = 7)অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
(x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0)
(\Rightarrow x^2 - 4x + 7 = 0)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, (z = \alpha + \beta i)। (\beta = 0) হলে, (z = \alpha)।
রাশিটি দাঁড়ায়:
(\left(2\alpha^2 + \frac{R}{\alpha^3}\right)^{10})দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
(T_{r+1} = \binom{10}{r} (2\alpha^2)^{10-r} \left(\frac{R}{\alpha^3}\right)^r)
(= \binom{10}{r} 2^{10-r} \cdot \alpha^{20-2r} \cdot R^r \cdot \alpha^{-3r})
(= \binom{10}{r} 2^{10-r} R^r \cdot \alpha^{20-5r})(\alpha^5) এর সহগের জন্য:
(20 - 5r = 5 \Rightarrow 5r = 15 \Rightarrow r = 3)
অতএব, (\alpha^5) এর সহগ = (\binom{10}{3} 2^{10-3} R^3 = \binom{10}{3} 2^7 R^3)(\alpha^{15}) এর সহগের জন্য:
(20 - 5r = 15 \Rightarrow 5r = 5 \Rightarrow r = 1)
অতএব, (\alpha^{15}) এর সহগ = (\binom{10}{1} 2^{10-1} R^1 = \binom{10}{1} 2^9 R)শর্তানুসারে,
(\binom{10}{3} 2^7 R^3 = \binom{10}{1} 2^9 R)
(\Rightarrow \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \cdot 2^7 R^3 = 10 \cdot 2^9 R)
(\Rightarrow 120 \cdot 2^7 R^3 = 10 \cdot 4 \cdot 2^7 R)
(\Rightarrow 120 R^3 = 40 R)যেহেতু (R \neq 0) (বিস্তৃতির জন্য):
(120 R^2 = 40)
(\Rightarrow R^2 = \frac{40}{120} = \frac{1}{3})
(\Rightarrow R = \pm \frac{1}{\sqrt{3}})।নির্ণেয় মান: (R = \pm \frac{1}{\sqrt{3}})।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও