উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

P, Q, R বলত্রয় △XYZ \triangle X Y Z এর লম্ব কেন্দ্র হতে যথাক্রমে YZ, ZX ও XY বাহুর উপর লম্বভাবে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকে।আবার বলত্রয় যথাক্রমে X, Y, Z বিন্দুতে সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির অন্ত:কেন্দ্রে ক্রিয়া করে।

  1. ক)

    “দুইটি সমান বলের লব্ধি তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে”- উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের বলত্রয়ের সাম্যাবস্থায় থাকার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, P:Q:R=x:y:z \mathrm{P}: \mathrm{Q}: \mathrm{R}=\mathrm{x}: \mathrm{y}: \mathrm{z}

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপকের বলত্রয় সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, P : Q : R = x : y: z

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, কোনো বিন্দুতে α\alpha কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের মান FF এবং তাদের লব্ধি RR, যা প্রথম বলটির সাথে θ\theta কোণ তৈরি করে।

    আমরা জানি,
    tan⁡θ=Fsin⁡αF+Fcos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α\tan \theta = \frac{F \sin \alpha}{F + F \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}
    =2sin⁡(α/2)cos⁡(α/2)2cos⁡2(α/2)=sin⁡(α/2)cos⁡(α/2)=tan⁡(α/2)= \frac{2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{2 \cos^2(\alpha/2)} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \tan(\alpha/2)

    ∴θ=α2\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}

    অতএব, লব্ধি বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং উক্তিটি সত্য।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, △XYZ\triangle XYZ-এর লম্ববিন্দু OO। OO বিন্দু থেকে YZ,ZXYZ, ZX ও XYXY বাহুর উপর লম্বভাবে যথাক্রমে P,Q,RP, Q, R বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
    যেহেতু PP বলটি YZYZ-এর উপর লম্ব এবং QQ বলটি ZXZX-এর উপর লম্ব, তাই বলদ্বয় PP ও QQ-এর মধ্যবর্তী কোণ =π−∠Z=\pi - \angle Z (অথবা চতুর্ভুজের কোণের সম্পর্ক হতে)। অনুরূপভাবে QQ ও RR-এর মধ্যবর্তী কোণ =π−∠X=\pi - \angle X এবং RR ও PP-এর মধ্যবর্তী কোণ =π−∠Y=\pi - \angle Y।

    লামির উপপাদ্য অনুসারে,
    Psin⁡(Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ)=Qsin⁡(R ও P এর মধ্যবর্তী কোণ)=Rsin⁡(P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ)\frac{P}{\sin(Q \text{ ও } R \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})} = \frac{Q}{\sin(R \text{ ও } P \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})} = \frac{R}{\sin(P \text{ ও } Q \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})}
    ⇒Psin⁡(π−X)=Qsin⁡(π−Y)=Rsin⁡(π−Z)\Rightarrow \frac{P}{\sin(\pi - X)} = \frac{Q}{\sin(\pi - Y)} = \frac{R}{\sin(\pi - Z)}
    ⇒Psin⁡X=Qsin⁡Y=Rsin⁡Z\Rightarrow \frac{P}{\sin X} = \frac{Q}{\sin Y} = \frac{R}{\sin Z}

    যেকোনো ত্রিভুজ XYZXYZ-এ সাইন সূত্র অনুসারে আমরা জানি,
    xsin⁡X=ysin⁡Y=zsin⁡Z=2R′\frac{x}{\sin X} = \frac{y}{\sin Y} = \frac{z}{\sin Z} = 2R' (যেখানে R′R' হলো ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ)
    ⇒sin⁡X:sin⁡Y:sin⁡Z=x:y:z\Rightarrow \sin X : \sin Y : \sin Z = x : y : z

    অতএব,
    P:Q:R=sin⁡X:sin⁡Y:sin⁡Z=x:y:zP : Q : R = \sin X : \sin Y : \sin Z = x : y : z
    ∴P:Q:R=x:y:z\therefore P : Q : R = x : y : z (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, △XYZ\triangle XYZ-এর শীর্ষবিন্দু X,Y,ZX, Y, Z-এ সদৃশ সমান্তরাল বলত্রয় যথাক্রমে P,Q,RP, Q, R ক্রিয়া করছে এবং এদের লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র II-তে ক্রিয়া করে।

    XX ও II যোগ করে বর্ধিত করলে তা বিপরীত বাহু YZYZ-কে DD বিন্দুতে ছেদ করে।
    যেহেতু অন্তঃকেন্দ্র II, কোণের সমদ্বিখণ্ডকসমূহের ছেদবিন্দু, তাই XDXD রেখাটি ∠X\angle X-এর সমদ্বিখণ্ডক।
    সুতরাং, অন্তর্বিভক্তিকরণ উপপাদ্য অনুসারে,
    YDDZ=XYXZ=zy\frac{YD}{DZ} = \frac{XY}{XZ} = \frac{z}{y}
    ⇒y⋅YD=z⋅DZ\Rightarrow y \cdot YD = z \cdot DZ

    অতএব, YY ও ZZ বিন্দুতে ক্রিয়ারত বল QQ ও RR-এর লব্ধি অবশ্যই তাদের সংযোগ রেখার DD বিন্দুতে ক্রিয়া করবে, যদি এবং কেবল যদি:
    QR=DZYD=yz\frac{Q}{R} = \frac{DZ}{YD} = \frac{y}{z}
    ⇒Qy=Rz\Rightarrow \frac{Q}{y} = \frac{R}{z}

    আবার, DD বিন্দুতে QQ ও RR এর লব্ধি (Q+R)(Q+R) ক্রিয়াশীল হবে। অতএব মূল বলত্রয়ের লব্ধি PP এবং (Q+R)(Q+R) বলের লব্ধি হিসেবে XDXD রেখার উপর অবস্থিত অন্তঃকেন্দ্র II বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।
    আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্র II, কোণ সমদ্বিখণ্ডক XDXD-কে (y+z):x(y+z) : x অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে:
    XIID=y+zx\frac{XI}{ID} = \frac{y+z}{x}

    সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
    P⋅XI=(Q+R)⋅IDP \cdot XI = (Q+R) \cdot ID
    ⇒PQ+R=IDXI=xy+z\Rightarrow \frac{P}{Q+R} = \frac{ID}{XI} = \frac{x}{y+z}
    ⇒Px=Q+Ry+z\Rightarrow \frac{P}{x} = \frac{Q+R}{y+z}

    যেহেতু Qy=Rz=k\frac{Q}{y} = \frac{R}{z} = k (ধরি), তাহলে Q=ky,R=kzQ = ky, R = kz এবং Q+Ry+z=k(y+z)y+z=k\frac{Q+R}{y+z} = \frac{k(y+z)}{y+z} = k।
    অতএব, Px=Qy=Rz\frac{P}{x} = \frac{Q}{y} = \frac{R}{z}
    ∴P:Q:R=x:y:z\therefore P : Q : R = x : y : z (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন