উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $S = \left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\right\}$
   এখানে, সকল $n \in \mathbb{N}$ এর জন্য $\frac{1}{n} > 0$।
   $n$ এর মান ক্রমাগত বৃদ্ধির সাথে সাথে $\frac{1}{n}$ এর মান শূন্যের (0) এর দিকে অগ্রসর হয়।
   অতএব, $S$ সেটের নিম্নসীমাগুলোর সেট হলো $(-\infty, 0]$।
   সুতরাং, $S$ সেটের বৃহত্তম নিম্নসীমা বা ইনফিমাম (infimum) হলো $0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রদত্ত অসমতা:
   $\frac{1}{|3x-4|} > 2$ [যেখানে $x \neq \frac{4}{3}$]

   বা, $|3x-4| < \frac{1}{2}$
   বা, $-\frac{1}{2} < 3x - 4 < \frac{1}{2}$
   বা, $4 - \frac{1}{2} < 3x < 4 + \frac{1}{2}$
   বা, $\frac{7}{2} < 3x < \frac{9}{2}$
   বা, $\frac{7}{6} < x < \frac{3}{2}$

   যেহেতু $x \neq \frac{4}{3}$ এবং $\frac{7}{6} < \frac{4}{3} < \frac{3}{2}$,
   সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: $\frac{7}{6} < x < \frac{3}{2}, x \neq \frac{4}{3}$
   অর্থাৎ, $x \in \left(\frac{7}{6}, \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\right)$।

   সংখ্যারেখায় উপস্থাপন:
   সংখ্যারেখায় $\frac{7}{6}$ এবং $\frac{3}{2}$ বিন্দু দুটিতে ফাঁপা বৃত্ত এঁকে মধ্যবর্তী অংশ গাঢ় করা হবে, তবে $\frac{4}{3}$ বিন্দুতেও একটি ফাঁপা বৃত্ত থাকবে যা নির্দেশ করে $x \neq \frac{4}{3}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত শর্তসমূহ:
   $x + 2y \le 10 \quad \dots (1)$
   $x + y \le 6 \quad \dots (2)$
   $x \ge 4 \quad \dots (3)$
   $x \ge 0, y \ge 0 \quad \dots (4)$

   অসমতাগুলোকে সমীকরণ আকারে লিখে পাই:
   $x + 2y = 10 \implies \frac{x}{10} + \frac{y}{5} = 1$
   $x + y = 6 \implies \frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 1$
   $x = 4$

   লেখচিত্রে রেখাগুলো অঙ্কন করে সাধারণ সমাধান অঞ্চল (অনুকূল এলাকা) পাওয়া যায়, যার শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:
   $A(4, 0)$
   $B(6, 0)$ [কারণ $(2)$ নং রেখা $x$-অক্ষকে $(6,0)$ তে ছেদ করে]
   $C(2, 4)$ [$(1)$ ও $(2)$ এর ছেদবিন্দু, কিন্তু $x \ge 4$ এর জন্য এটি সীমানার বাইরে]
   $(1)$ ও $(2)$ এর ছেদবিন্দু: $x+2y=10$ এবং $x+y=6 \implies y=4, x=2$ যা $x \ge 4$ শর্তের বাইরে।
   $x=4$ এবং $x+y=6$ এর ছেদবিন্দু: $D(4, 2)$।
   $x=4$ এবং $x+2y=10$ এর ছেদবিন্দু: $E(4, 3)$।
   কিন্তু $x+y \le 6$ শর্তের অধীনে $x=4$ হলে $y \le 2$ হতে হবে।
   অতএব, অনুকূল অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:
   $A(4, 0)$, $B(6, 0)$ এবং $D(4, 2)$।

   শীর্ষবিন্দুগুলোতে অভীষ্ট ফাংশন $Z = 3x + 2y$ এর মান নির্ণয় করি:
   $A(4, 0)$ বিন্দুতে, $Z = 3(4) + 2(0) = 12$
   $B(6, 0)$ বিন্দুতে, $Z = 3(6) + 2(0) = 18$
   $D(4, 2)$ বিন্দুতে, $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$

   অতএব, $B(6, 0)$ বিন্দুতে $Z$ এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় এবং সর্বোচ্চ মান হলো $18$।