উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি $ABCD$ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $AC$ ও $BD$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ধরি $\vec{AO}=\underline{a}$, $\vec{BO}=\underline{b}$, $\vec{OC}=\underline{c}$, $\vec{OD}=\underline{d}$। প্রমাণ করতে হবে $|\underline{a}|=|\underline{c}|$ ও $|\underline{b}|=|\underline{d}|$।
$\vec{AD}=\vec{AO}+\vec{OD}=\underline{a}+\underline{d}$ এবং $\vec{BC}=\vec{BO}+\vec{OC}=\underline{b}+\underline{c}$। সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল বলে $\vec{AD}=\vec{BC}$।
$\therefore \underline{a}+\underline{d}=\underline{b}+\underline{c}$ বা $\underline{a}-\underline{c}=\underline{b}-\underline{d}$।
$\underline{a}-\underline{c}$ এর ধারক $AC$ এবং $\underline{b}-\underline{d}$ এর ধারক $BD$। সমান অশূন্য ভেক্টরের ধারক অভিন্ন বা সমান্তরাল হতো, কিন্তু $AC$ ও $BD$ পরস্পরছেদী। তাই ভেক্টর দুটি শূন্য: $\underline{a}=\underline{c}$ এবং $\underline{b}=\underline{d}$।
অতএব $|\underline{a}|=|\underline{c}|$ ও $|\underline{b}|=|\underline{d}|$, অর্থাৎ $AO=OC$ ও $BO=OD$। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)