উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, P ও Q মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান:
   R = |P - Q|
   এখানে, P = 20 N এবং Q = 15 N
   ∴ লব্ধি R = 20 N - 15 N = 5 N
   লব্ধিটির মান 5 N এবং এটি বৃহত্তর বলের (20 N) দিকে ক্রিয়া করবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ অনুসারে, P, Q, R বলত্রয় একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে।
   দেওয়া আছে:
   P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ = 60°
   P ও R এর মধ্যবর্তী কোণ = 150°
   সুতরাং, Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ = 360° - (60° + 150°) = 360° - 210° = 150°

   লামির উপপাদ্য অনুসারে,
   P / sin(Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ) = Q / sin(P ও R এর মধ্যবর্তী কোণ) = R / sin(P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ)
   ⇒ P / sin 150° = Q / sin 150° = R / sin 60°

   যেহেতু sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2 এবং sin 60° = √3/2,
   ⇒ P / (1/2) = Q / (1/2) = R / (√3/2)
   ⇒ 2P = 2Q = 2R / √3

   উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   P = Q = R / √3 (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, 20 সেমি দীর্ঘ দণ্ডটি AB, যেখানে A বিন্দুতে 2W এবং B বিন্দুতে 3W ওজন ঝুলানো আছে।
   ধরি খুঁটি দুটি যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে অবস্থিত এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব CD = 10 সেমি।
   ধরি, A বিন্দু হতে C বিন্দুর দূরত্ব AC = x সেমি।
   তাহলে AD = AC + CD = x + 10 সেমি।
   এবং B বিন্দু থেকে D এর দূরত্ব BD = AB - AD = 20 - (x + 10) = (10 - x) সেমি।

   খুঁটি দুটিতে ঊর্ধ্বমুখী প্রতিক্রিয়া বল যথাক্রমে R_C এবং R_D।
   দণ্ডটি আনুভূমিকভাবে সাম্যাবস্থায় থাকায়:
   ১) উল্লম্ব বলগুলোর বীজগণিতীয় যোগফল শূন্য:
   R_C + R_D = 2W + 3W = 5W ...... (1)

   যেহেতু দণ্ডটি হাল্কা এবং খুঁটি দুটির উপর অবস্থান করছে, তাই খুঁটি দুটির প্রতিক্রিয়া R_C ≥ 0 এবং R_D ≥ 0 হতে হবে।
   C বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই:
   -2W · AC + R_D · CD - 3W · CB = 0
   যেহেতু CB = AB - AC = 20 - x,
   ⇒ -2W · x + R_D · 10 - 3W · (20 - x) = 0
   ⇒ 10 R_D = 2Wx + 60W - 3Wx = 60W - Wx
   ⇒ R_D = W(60 - x) / 10

   আবার, D বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে পাই:
   -2W · AD - R_C · CD + 3W · BD = 0
   ⇒ -2W · (x + 10) - R_C · 10 + 3W · (10 - x) = 0
   ⇒ 10 R_C = -2Wx - 20W + 30W - 3Wx = 10W - 5Wx
   ⇒ R_C = W(10 - 5x) / 10

   দণ্ডটি উভয় খুঁটির উপর স্থিরভাবে থাকার জন্য উভয় প্রতিক্রিয়া ধনাত্মক বা অ-ঋণাত্মক হতে হবে:
   R_C ≥ 0 ⇒ 10 - 5x ≥ 0 ⇒ 5x ≤ 10 ⇒ x ≤ 2 সেমি
   এবং খুঁটিদ্বয় দণ্ডের অভ্যন্তরে থাকায় x ≥ 0।
   বিশেষভাবে, যদি উভয় খুঁটিতে চাপ সমান বা সুনির্দিষ্ট অবস্থান বিবেচনা করা হয় অথবা প্রান্তীয় ভারসাম্যের সীমাস্থ অবস্থায়:
   যদি খুঁটি দুটির অবস্থান নির্ণয় করতে বলা হয় যেখানে সাম্যাবস্থা বজায় থাকে:
   x এর মান 0 থেকে 2 সেমি এর মধ্যে হতে হবে (0 ≤ x ≤ 2)।
   যদি প্রথম খুঁটিটি ঠিক A বিন্দু থেকে 2 সেমি দূরে স্থাপন করা হয় (x = 2 সেমি), তবে R_C = 0 হয় এবং দণ্ডটি উল্টে পড়ার উপক্রম হয়।
   অতএব, খুঁটি দুটিকে A প্রান্ত থেকে x সেমি এবং (x + 10) সেমি দূরত্বে স্থাপন করতে হবে, যেখানে 0 ≤ x ≤ 2 সেমি।
   (উদাহরণস্বরূপ, যদি A প্রান্ত থেকে প্রথম খুঁটিটি 2 সে.মি. দূরে থাকে, তবে দ্বিতীয় খুঁটিটি A থেকে 12 সে.মি. দূরে বা B থেকে 8 সে.মি. দূরে অবস্থিত হবে।)