উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
f(x)=xtan−1x,g(x)=logxa,h(x)=a+bcosx f(x)=x^{\tan ^{-1} x}, g(x)=\log _{x} a, h(x)=\sqrt{a+b \cos x}
- ক)(2)
limy→01−cosyy \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{y} এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(4)
f(x) এবং g(x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
- গ)(4)
y=h(x) y=h(x) হলে, দেখাও যে 2y⋅d2ydx2+2⋅(dydx)2+y2=a 2 \mathrm{y} \cdot \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}+2 \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{a}
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
lim_(y→0) (1 - cos y)/y
= lim_(y→0) [2 sin²(y/2)] / y
= lim_(y→0) [sin(y/2) / (y/2)] · sin(y/2)
= 1 · sin(0)
= 1 · 0 = 0। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
(i) f(x) = x^(tan⁻¹ x)
ধরি, u = x^(tan⁻¹ x)
উভয়পক্ষে ln নিয়ে পাই,
ln u = tan⁻¹ x · ln xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
(1/u) · (du/dx) = (d/dx(tan⁻¹ x)) · ln x + tan⁻¹ x · (d/dx(ln x))
বা, (1/u) · (du/dx) = (ln x)/(1 + x²) + (tan⁻¹ x)/x
বা, du/dx = x^(tan⁻¹ x) [ (ln x)/(1 + x²) + (tan⁻¹ x)/x ](ii) g(x) = log_x a = (ln a)/(ln x) = (ln a) · (ln x)⁻¹
x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
g'(x) = ln a · (-1) · (ln x)⁻² · (1/x)
= - (ln a) / [x (ln x)²]। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, y = h(x) = √(a + b cos x)
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
y² = a + b cos xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
2y (dy/dx) = - b sin x ... (1)পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
2 [(dy/dx)(dy/dx) + y (d²y/dx²)] = - b cos x
বা, 2y (d²y/dx²) + 2 (dy/dx)² = - b cos xকিন্তু y² = a + b cos x থেকে পাই,
- b cos x = a - y²
মান বসিয়ে পাই,
2y (d²y/dx²) + 2 (dy/dx)² = a - y²
বা, 2y (d²y/dx²) + 2 (dy/dx)² + y² = a। (দেখানো হলো)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও