পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৫

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপকে X ও Y বিন্দু দুটি কলেজের অবস্থান নির্দেশ করে। O, উভয় কলেজের যাত্রা অবস্থানের সাধারণ বিন্দু।

  1. ক)

    তাৎক্ষণিক ত্বরণ কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিবেগ হ্রাস পায় কেন?

    (2)
  3. গ)

    OX⃗\vec{OX} ও OY⃗\vec{OY} ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    OOX, ⃗OY⃗\vec{OX,\ }\vec{OY} এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর, এবং OY, ⃗OX⃗\vec{OY,\ }\vec{OX}, OX এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর, একই হবে কি? প্রয়োজনীয় গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যুক্তি দাও।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সময় ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে সময়ের সাথে কোনো বস্তুর বেগের পরিবর্তনের হারকে তাৎক্ষণিক ত্বরণ বলে। অর্থাৎ, a⃗=lim⁡Δt→0Δv⃗Δt=dv⃗dt\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে তার উপর পৃথিবীর অভিকর্ষ বল সর্বদা নিচের দিকে তথা পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়াশীল থাকে। এর ফলে বস্তুর গতির বিপরীত দিকে একটি অভিকর্ষজ ত্বরণ (gg) কাজ করে। গতি ও ত্বরণের দিক পরস্পরের বিপরীতমুখী হওয়ায় এটি মন্দন হিসেবে কাজ করে এবং সময়ের সাথে সাথে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিবেগ ক্রমাগত হ্রাস পেতে থাকে।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক হতে,
    মূলবিন্দু O(0,0,0)O(0, 0, 0) এর সাপেক্ষে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর হলো:
    OX⃗=3i^+2j^+k^\vec{OX} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}
    OY⃗=−2i^+j^+4k^\vec{OY} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}

    ভেক্টরদ্বয়ের মান:
    ∣OX⃗∣=32+22+12=9+4+1=14|\vec{OX}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}
    ∣OY⃗∣=(−2)2+12+42=4+1+16=21|\vec{OY}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}

    OX⃗\vec{OX} ও OY⃗\vec{OY} এর স্কেলার গুণন:
    OX⃗⋅OY⃗=(3)(−2)+(2)(1)+(1)(4)=−6+2+4=0\vec{OX} \cdot \vec{OY} = (3)(-2) + (2)(1) + (1)(4) = -6 + 2 + 4 = 0

    যদি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ\theta হয়, তবে—
    OX⃗⋅OY⃗=∣OX⃗∣∣OY⃗∣cos⁡θ\vec{OX} \cdot \vec{OY} = |\vec{OX}| |\vec{OY}| \cos\theta
    বা, cos⁡θ=OX⃗⋅OY⃗∣OX⃗∣∣OY⃗∣=014⋅21=0\cos\theta = \frac{\vec{OX} \cdot \vec{OY}}{|\vec{OX}| |\vec{OY}|} = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = 0
    ∴θ=cos⁡−1(0)=90∘\therefore \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ

    অতএব, OX⃗\vec{OX} ও OY⃗\vec{OY} ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 90∘90^\circ।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক অনুযায়ী,
    OX⃗=3i^+2j^+k^\vec{OX} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}
    OY⃗=−2i^+j^+4k^\vec{OY} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}

    OX⃗\vec{OX} ও OY⃗\vec{OY} এর তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর η^1\hat{\eta}_1 হলে,
    η^1=OX⃗×OY⃗∣OX⃗×OY⃗∣\hat{\eta}_1 = \frac{\vec{OX} \times \vec{OY}}{|\vec{OX} \times \vec{OY}|}

    এখানে,
    OX⃗×OY⃗=∣i^j^k^321−214∣\vec{OX} \times \vec{OY} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix}
    =i^(8−1)−j^(12−(−2))+k^(3−(−4))= \hat{i}(8 - 1) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(3 - (-4))
    =7i^−14j^+7k^= 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}

    মান ∣OX⃗×OY⃗∣=72+(−14)2+72=49+196+49=294=76|\vec{OX} \times \vec{OY}| = \sqrt{7^2 + (-14)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 196 + 49} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}

    ∴η^1=7i^−14j^+7k^76=i^−2j^+k^6\therefore \hat{\eta}_1 = \frac{7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}}{7\sqrt{6}} = \frac{\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}

    আবার, OY⃗\vec{OY} ও OX⃗\vec{OX} এর তলের ওপর লম্ব একক ভেক্টর η^2\hat{\eta}_2 হলে,
    η^2=OY⃗×OX⃗∣OY⃗×OX⃗∣\hat{\eta}_2 = \frac{\vec{OY} \times \vec{OX}}{|\vec{OY} \times \vec{OX}|}

    আমরা জানি, OY⃗×OX⃗=−(OX⃗×OY⃗)=−(7i^−14j^+7k^)=−7i^+14j^−7k^\vec{OY} \times \vec{OX} = -(\vec{OX} \times \vec{OY}) = -(7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}) = -7\hat{i} + 14\hat{j} - 7\hat{k}

    এবং ∣OY⃗×OX⃗∣=76|\vec{OY} \times \vec{OX}| = 7\sqrt{6}

    ∴η^2=−7i^+14j^−7k^76=−i^+2j^−k^6=−η^1\therefore \hat{\eta}_2 = \frac{-7\hat{i} + 14\hat{j} - 7\hat{k}}{7\sqrt{6}} = \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}} = -\hat{\eta}_1

    দেখা যাচ্ছে যে, একক ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান (উভয়ের মান ১) কিন্তু দিক পরস্পরের বিপরীত। যেহেতু ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে দিক ভিন্ন হলে ভেক্টরদ্বয় একই হতে পারে না, তাই OX⃗,OY⃗\vec{OX},\vec{OY} এবং OY⃗,OX⃗\vec{OY},\vec{OX} এর তলের উপর লম্ব একক ভেক্টরদ্বয় একই হবে না।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন