পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে সরল দোলকের দোলনকাল দুই সেকেন্ড (2 s), তাকে সেকেন্ড দোলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উল্লম্ব তলে কম্পিত কোনো স্প্রিংয়ের দোলনকাল পৃথিবী ও চাঁদের পৃষ্ঠে একই হবে।

   আমরা জানি, উল্লম্বভাবে স্পন্দিত স্প্রিং-ভর ব্যবস্থার দোলনকাল $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, যেখানে $m$ হলো ঝুলানো বস্তুর ভর এবং $k$ হলো স্প্রিং ধ্রুবক। এই সমীকরণে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$-এর কোনো প্রভাব নেই। চাঁদ ও পৃথিবী উভয় স্থানে বস্তুর ভর $m$ এবং স্প্রিং-এর স্প্রিং ধ্রুবক $k$ অপরিবর্তিত থাকে। তাই অভিকর্ষজ ত্বরণের মান চাঁদে ভিন্ন হওয়া সত্ত্বেও স্প্রিংয়ের দোলনকাল একই থাকবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $5 \frac{d^2x}{dt^2} + 625x = 0$
   বা, $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{625}{5}x = 0$
   বা, $\frac{d^2x}{dt^2} + 125x = 0$

   সরল ছন্দিত গতির আদর্শ সমীকরণ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $\omega^2 = 125$
   বা, $\omega = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11.18 \text{ rad/s}$

   আমরা জানি, কৌণিক কম্পাংক $\omega = 2\pi f$
   $\therefore f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{11.18}{2\pi} \approx 1.78 \text{ Hz}$

   অতএব, বস্তুটির কম্পাংক প্রায় $1.78 \text{ Hz}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বস্তুটির সরণের সমীকরণ $x = A \sin(\omega t)$ (যেহেতু আদি দশা $\delta = 0$ ধরা যায়)।
   তাহলে বেগ, $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$

   এবং গতিশক্তি, $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$

   এখানে,
   ভর, $m = 2 \text{ kg}$
   বিস্তার, $A = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$
   $\omega = \sqrt{125} \approx 11.18 \text{ rad/s}$
   $\omega^2 = 125 \text{ rad}^2/\text{s}^2$

   সর্বোচ্চ গতিশক্তি $K_{\max} = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 \times 125 = 5 \text{ J}$

   ১. $t_1 = 2 \text{ s}$ সময়ে:
   কৌণিক অবস্থান, $\theta_1 = \omega t_1 = 11.18 \times 2 = 22.36 \text{ rad}$
   $\cos(22.36 \text{ rad}) \approx -0.9996$
   $\therefore K_1 = 5 \times (-0.9996)^2 \approx 4.996 \text{ J}$

   ২. $t_2 = 2.5 \text{ s}$ সময়ে:
   কৌণিক অবস্থান, $\theta_2 = \omega t_2 = 11.18 \times 2.5 = 27.95 \text{ rad}$
   $\cos(27.95 \text{ rad}) \approx -0.3705$
   $\therefore K_2 = 5 \times (-0.3705)^2 \approx 0.686 \text{ J}$

   দেখা যাচ্ছে যে, $K_1 \neq K_2$।

   অতএব, উদ্দীপকের $K_1$ ও $K_2$-এর মান একই হবে না।