গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $(3c^{-1}+2d^{-1})^{-1}=\left(\frac{3}{c}+\frac{2}{d}\right)^{-1}=\left(\frac{3d+2c}{cd}\right)^{-1}=\frac{cd}{2c+3d}$

2. খ)

   A এর মান:

   $4^{a+1}=2^{2a+2}$ এবং $(2^{a+1})^{a-1}=2^{a^2-1}$

   প্রথম ভগ্নাংশ $=2^{2a+2-(a^2-1)}=2^{-a^2+2a+3}$

   দ্বিতীয় ভগ্নাংশ $=\frac{2^{a+1}}{2^{a^2-a}}=2^{a+1-a^2+a}=2^{-a^2+2a+1}$

   $\therefore A=2^{-a^2+2a+3}\div 2^{-a^2+2a+1}=2^{2}=4$

   B এর মান:

   $B=\log_{\sqrt{3}}9=\log_{\sqrt3}(\sqrt3)^4=4$

   অতএব, $A=B$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\frac{p^2+q^2}{q^2+r^2}=\frac{(p-q)^2}{(q-r)^2}$

   আড়গুণন করে, $(p^2+q^2)(q-r)^2=(q^2+r^2)(p-q)^2$

   বামপক্ষ $=p^2q^2-2p^2qr+p^2r^2+q^4-2q^3r+q^2r^2$

   ডানপক্ষ $=p^2q^2-2pq^3+q^4+p^2r^2-2pqr^2+q^2r^2$

   বামপক্ষ − ডানপক্ষ $=0$ হলে,

   $-2p^2qr-2q^3r+2pq^3+2pqr^2=0$

   $\Rightarrow 2q\{pr(r-p)-q^2(r-p)\}=0$

   $\Rightarrow 2q(r-p)(pr-q^2)=0$

   এখানে $q\neq0$ এবং $p\neq r$ (নইলে সমানুপাত অর্থহীন), তাই $pr-q^2=0$

   $\therefore q^2=pr$ বা $p:q=q:r$

   অতএব, $p,q,r$ ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)