গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 \times \sin 30° = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 \times \dfrac{1}{2} =$ ১৫ বর্গ সে.মি.

2. খ)

   ধরি, $\triangle MNP$ এর ভূমি $NP = 7$ সে.মি., $\angle MNP = 45°$ এবং $MN - MP = 2.5$ সে.মি. (অর্থাৎ $MN > MP$)।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. ভূমি $NP = 7$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $N$ বিন্দুতে $NP$ এর সাথে $45°$ কোণ করে $\angle PNX = 45°$ আঁকি।
   ৩. $NX$ রশ্মি থেকে $NQ = 2.5$ সে.মি. কেটে নিই (অপর দুই বাহুর অন্তর)।
   ৪. $P$ ও $Q$ যোগ করি।
   ৫. $PQ$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা $NX$ রশ্মিকে $Q$ এর পরে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৬. $M$ ও $P$ যোগ করি। তাহলে $\triangle MNP$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $M$ বিন্দু $PQ$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের ওপর, তাই $MP = MQ$। সুতরাং $MN - MP = MN - MQ = NQ = 2.5$ সে.মি.

3. গ)

   ধরি, $\triangle MNP$ আঁকা আছে। $M$ কোণের বিপরীত বাহু $NP$ এর বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে, অর্থাৎ যে বৃত্ত $NP$ বাহুকে এবং $MN$ ও $MP$ এর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $MN$ কে $X$ বিন্দু পর্যন্ত এবং $MP$ কে $Y$ বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করি।
   ২. $\angle XNP$ এর সমদ্বিখণ্ডক $NO$ এবং $\angle YPN$ এর সমদ্বিখণ্ডক $PO$ আঁকি; এরা $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়।
   ৩. $O$ থেকে $NP$ এর ওপর লম্ব $OD$ টানি।
   ৪. $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি।

   এই বৃত্তটিই নির্ণেয় বহির্বৃত্ত।

   প্রমাণ: $O$ কোণ দুটির সমদ্বিখণ্ডকের ওপর থাকায় $O$ থেকে $NP$, $NX$ ও $PY$ এর লম্ব দূরত্ব সমান। তাই বৃত্তটি তিনটি রেখাকেই স্পর্শ করে।