চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O,PQ O, P Q ও MN জ্যায়ের মধ্যবি…

গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২২

চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O,PQ O, P Q ও MN জ্যায়ের মধ্যবিন্দু A, B.

ক)
10 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
(1)
খ)
OA⊥PQ,OB⊥MN \mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}, \mathrm{OB} \perp \mathrm{MN} এবং OA=OB \mathrm{OA}=\mathrm{OB} হলে প্রমাণ কর যে, PQ=MN \mathrm{PQ}=\mathrm{MN} .
(2)
গ)
বৃত্তের বহিঃস্থ D D বিন্দু হতে Q Q ও N N বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক টানা হলো, প্রমাণ কর যে, DQ = DN
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
ব্যাস 10 সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ $r = 5$ সে.মি.।

ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx \mathbf{78.54}$ বর্গ সে.মি.।
খ)
বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PQ$ ও $MN$ জ্যায়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $A$ ও $B$ । $OA \perp PQ$ , $OB \perp MN$ এবং $OA = OB$ । প্রমাণ করতে হবে, $PQ = MN$ ।

অঙ্কন: $OQ$ ও $ON$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle OAQ$ ও $\triangle OBN$ এ,
$\angle OAQ = \angle OBN = 90^\circ$
কর্ণ $OQ$ = কর্ণ $ON$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
এবং $OA = OB$ (দেওয়া আছে)

$\therefore \triangle OAQ \cong \triangle OBN$ (সমকোণী-অতিভুজ-বাহু)

$\therefore AQ = BN$

$A$ ও $B$ মধ্যবিন্দু বলে $PQ = 2AQ$ এবং $MN = 2BN$ ।

$\therefore PQ = MN$ (প্রমাণিত)
গ)
বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $D$ থেকে $Q$ ও $N$ বিন্দুতে দুটি স্পর্শক $DQ$ ও $DN$ টানা হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে, $DQ = DN$ ।

অঙ্কন: $OQ$ , $ON$ ও $OD$ যোগ করি।

প্রমাণ: স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব। তাই $OQ \perp DQ$ এবং $ON \perp DN$ , অর্থাৎ $\angle OQD = \angle OND = 90^\circ$ ।

$\triangle OQD$ ও $\triangle OND$ এ,
$\angle OQD = \angle OND = 90^\circ$
কর্ণ $OD$ = কর্ণ $OD$ (সাধারণ বাহু)
এবং $OQ = ON$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

$\therefore \triangle OQD \cong \triangle OND$ (সমকোণী-অতিভুজ-বাহু)

$\therefore DQ = DN$ (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন